Chủ đề này có 1 trả lời

[Juliel]

Cho ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,BCD,CDE,DEA,EAB$. Gọi  $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ lần lượt là hình chiếu của $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ lên các cạnh $DE,AE,AB,BC,CD$. Chứng minh rằng năm đường thẳng $G_{1}H_{1},G_{2}H_{2},G_{3}H_{3},G_{4}H_{4},G_{5}H_{5}$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 17-08-2013 - 14:21

[bachhammer]

Cho ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,BCD,CDE,DEA,EAB$. Gọi  $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ lần lượt là hình chiếu của $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ lên các cạnh $DE,AE,AB,BC,CD$. Chứng minh rằng năm đường thẳng $G_{1}H_{1},G_{2}H_{2},G_{3}H_{3},G_{4}H_{4},G_{5}H_{5}$ đồng quy.

Ta có: $\overrightarrow{OG_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$. Xét $M_{1}$ là một điểm tuỳ ý của đường thẳng $G_{1}H_{1}$ ta thấy ngay tồn tại duy nhất một số $\alpha _{1}$ sao cho $\overrightarrow{OM_{1}}=\overrightarrow{OG_{1}}+\alpha _{1}\overrightarrow{ON_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})+\alpha_{1}\frac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE})$.(Trong đó $N_{1}$ là chân đường cao hạ từ O đến DE).

Tương tự tồn tại các số $\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}$ ứng với các điểm $M_{2}\in G_{2}H_{2},M_{3}\in G_{3}H_{3},M_{4}\in G_{4}H_{4},M_{5}\in G_{5}H_{5}$ sao cho:

$\overrightarrow{OM_{2}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})+\alpha_{2}\frac{1}{2}(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OA})$.

$\overrightarrow{OM_{3}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE})+\alpha_{3}\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$.

$\overrightarrow{OM_{4}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OA})+\alpha_{4}\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$.

$\overrightarrow{OM_{5}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\alpha_{5}\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$.

Bây giờ ta chỉ cần chọn $\alpha_{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha _{4}=\alpha _{5}=\frac{2}{3}$ thì ta sẽ có đpcm.