Lính mới
Mình có 2 bài muốn hỏi 
:
1. Cho x,y,z thoả mãn $3^{-x} + 3^{-y} + 3^{-z} = 1$ CMR $\frac{9^{x}}{3^{x}+3^{y+z}} + \frac{9^{y}}{3^{y}+3^{x+z}} + \frac{9^{z}}{3^{z}+3^{y+x}} \geqslant \frac{3^{x}+3^{y}+3^{z}}{4}$
2. Cho a,b,c > 0 CMR $\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geqslant \frac{1}{2}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mo0on123: 17-08-2013 - 21:14
Trung sĩ
Mình có 2 bài muốn hỏi
2. Cho a,b,c > 0 CMR $\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geqslant \frac{1}{2}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Có $\frac{a^{3}}{a+b}+\frac{b^{3}}{b+c}+\frac{c^{3}}{c+a}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}$
Ta cần chứng minh
$\frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}\geq \frac{\sum a^{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \sum ab$
điều này hiển nhiên đúng
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
$\sqrt{MF}'s$ $member$
2. Cho a,b,c > 0 CMR $\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geqslant \frac{1}{2}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Bài 2 ;
Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2};\frac{a}{b+c}\geq \frac{b}{c+a}\geq \frac{c}{a+b}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có :
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\leq 3(\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b})$
Mà ta lại có : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}\geq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Lính mới
Bài 2 ;
Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2};\frac{a}{b+c}\geq \frac{b}{c+a}\geq \frac{c}{a+b}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có :
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\leq 3(\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b})$
Mà ta lại có : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}\geq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\frac{a^{3}}{a+b}$ mà . Nên đoạn kia không sử dụng Bdt Nesbitt được
$\sqrt{MF}'s$ $member$
$\frac{a^{3}}{a+b}$ mà . Nên đoạn kia không sử dụng Bdt Nesbitt được
Ừ hình như mình lộn đề rồi @@!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 17-08-2013 - 22:11
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Sĩ quan
Mình có 2 bài muốn hỏi
1. Cho x,y,z thoả mãn $3^{-x} + 3^{-y} + 3^{-z} = 1$ CMR $\frac{9^{x}}{3^{x}+3^{y+z}} + \frac{9^{y}}{3^{y}+3^{x+z}} + \frac{9^{z}}{3^{z}+3^{y+x}} \geqslant \frac{3^{x}+3^{y}+3^{z}}{4}$
2. Cho a,b,c > 0 CMR $\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geqslant \frac{1}{2}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có:
$VT=\frac{a^4}{a^2+ab}+\frac{b^4}{b^2+bc}+\frac{c^4}{c^2+ca}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
