Bài 2
Giải
Ta có: $y' = -mx^2 + 2(m - 1)x + 3(2 - m)$
Hàm nghịch biến trên $(- \propto; -2 )$ khi $y' \leq 0$ $\forall$ $x < -2$
+ Với $m = 0 \Rightarrow y' = -2x + 6 > 10$ $\forall$ $x \in (- \propto; -2)$
+ Với $m \neq 0$ thì y' là một tam thức bậc hai có biệt số $\Delta' = (m - 1)^2 + 3m(2 - m) = - 2m^2 + 4m + 1$
Dấu của y' phụ thuộc vào $\Delta'$.
Biệt số $\Delta'$ là một tam thức bậc hai ẩn m có hai nghiệm: $\dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}$ và $\dfrac{2 - \sqrt{6}}{2}$
Ta xét hai trường hợp:
a) Nếu $\Delta' \leq 0$, tức là $m \geq \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}$ hoặc $m \leq \dfrac{2 - \sqrt{6}}{2}$ thì hàm số ban đầu luôn đơn điệu trên R.
Vì vậy, để hàm nghịch biến thì: $-m < 0 \Leftrightarrow m > 0$
Vậy: $m \geq \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}$
b) Nếu $\Delta' > 0 \Leftrightarrow \dfrac{2 - \sqrt{6}}{2} < m < \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2} $
Khi đó, y' có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2 \, (x_1 < x_2)$ và hàm số y nghịch biến trên $(- \propto; -2)$ khi:
$\left\{\begin{matrix}-m < 0\\-2 \leq x_1 < x_2\\\Delta' = -2m^2 + 4m - 1 < 0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m > 0\\S = x_1 + x_2 > - 4\\(x_1 + 2)(x_2 + 2) \geq 0\\ \dfrac{2 - \sqrt{6}}{2} < m < \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m > 0\\\dfrac{2(m - 1)}{m} > - 4\\\dfrac{3(m - 2)}{m} + 2\dfrac{2(m - 1)}{m} + 4 \geq 0\\ \dfrac{2 - \sqrt{6}}{2} < m < \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m > 0\\m > \dfrac{1}{3}\\m \geq \dfrac{10}{11}\\ \dfrac{2 - \sqrt{6}}{2} < m < \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \dfrac{10}{11} < m < \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}$
Vậy, kết hợp 2 trường hợp, ta được: $m > \dfrac{10}{11}$
Hoặc bạn có thể kết hợp 3 điều kiện: $\left\{\begin{matrix}\Delta > 0\\(-m).y'(-2) \geq 0\\\dfrac{S}{2} > -2\end{matrix}\right.$ để giải
