Chủ đề này có 1 trả lời

[phamkieuoanh]

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} y^{3}+y=x^{3}+3x^{2}+4x+2\\ \sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{y}=\sqrt{2-y}-1 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 19-08-2013 - 21:41

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $0 \leq y \leq 2$ và $-1 \leq x \leq 1$ 

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$y^3 + y = (x + 1)^3 + x + 1 \, (1)$

Xét hàm $f(t) = t^3 + t$ trên [0; 2] có $f'(t) = 3t^2 + 1 > 0$

Do đó $f(t)$ luôn đồng biến trên [0; 2] nên $(1) \Leftrightarrow y = x + 1 \Leftrightarrow x = y - 1$

 

Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$\sqrt{1 - (y - 1)^2}  = \sqrt{y} + \sqrt{2 - y} - 1$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{y(2 - y)} = \sqrt{y} + \sqrt{2 - y} - 1$

 

Khi đó: Đặt $t = \sqrt{y} + \sqrt{2 - y} \Rightarrow t^2 = 2 + 2\sqrt{y(2 - y)} \Rightarrow \sqrt{y(2 - y)} = \dfrac{t^2 - 2}{2}$

 

Giải phương trình bậc hai tìm t rồi từ đó tìm x nữa là được.