Chủ đề này có 2 trả lời

[htatgiang]

     Cho (C) : y = mx³ - 3mx² + (2m + 1)x + 3 - m

Tìm m để (C) có CĐ, CT. CMR: khi đó đường thẳng đi qua CĐ,CT luôn đi qua 1 điểm cố định.

[wtuan159]

Ai giải thử đi.đề sai hay sao á.pt đâu có đi qua 1đ cố định

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

a) TXĐ: D = R

Ta có: $y' = 3mx^2 - 6mx + 2m + 1$

+ Nếu m = 0, $y' = 1 > 0$, hàm đồng biến trên R. Khi đó, hàm không có cực đại, cực tiểu. (Loại)

+ Nếu $m \neq 0$, hàm số ban đầu có cực đại, cực tiểu khi $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó: $\Delta = (-3m)^2 - 3m(2m + 1) > 0 \Leftrightarrow 3m^2 - 3m > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}m > 1\\m < 0\end{matrix}\right.$

b) Ta có: $y = y' \left ( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{3}\right ) + \dfrac{-2m + 2}{3}x + \dfrac{10 - m}{3}$

 

Vì vậy, phương trình đi qua hai điểm cực trị là: $d: y = \dfrac{-2m + 2}{3}x + \dfrac{10 - m}{3}$

 

Gọi $A(x_o; y_o)$ là một điểm cố định (nếu có) của đường thẳng d.

Khi đó, ta có: $y_o = \dfrac{-2m + 2}{3}x_o + \dfrac{10 - m}{3}$

$\Leftrightarrow -m(2x_o + 1)+ 2x_o - 3y_o + 10 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x_o + 1 = 0\\2x_o - 3y_o + 10 = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_o = \dfrac{-1}{2}\\y_o = 3\end{matrix}\right.$

 

Vậy, đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số ban đầu đi qua 1 điểm cố định là: $A\left (\dfrac{-1}{2}; 3 \right )$