Chủ đề này có 1 trả lời

[nxt96]

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD= 60°,2 mặt chéo (ACC'A') và (BDD'B') cùng vuông góc vs đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD,B'C', và MN, BD' vuông góc vs nhau. Tính V(ABCD.A'B'C'D')

[hoangtrong2305]

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD= 60°,2 mặt chéo (ACC'A') và (BDD'B') cùng vuông góc vs đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD,B'C', và MN, BD' vuông góc vs nhau. Tính V(ABCD.A'B'C'D')

 

Ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} (ACC'A')\perp(ABCD)\\ (BDD'B')\perp(ABCD) \end{matrix}\right.\Rightarrow OO'\perp (ABCD)$

 

(Với $\left\{\begin{matrix} A'C'\cap B'D'=O'\\ AC\cap BD=O \end{matrix}\right.$)

 

Gọi $J,K$ lần lượt là trung điểm $AD,A'B' \Rightarrow KN//JM$

 

Gọi giao điểm $KN$ và $B'D',JM$ và $BD$ lần lượt là $I',I$

 

Ta có: $(ABCD)\cap (JKNM)=II'$ 

 

Dễ chứng minh $II'//MN \Rightarrow BD' \perp II'$

 

Gọi $G$ giao điểm $D'B,OO'$

 

Bằng những phép chứng minh tam giác bằng nhau, suy ra $G$ cũng là giao điểm $BD'$ và $II'$

 

$\Rightarrow BD' \perp II'$ tại $G$

 

$\widehat{BAD}=60^{o}\Rightarrow \Delta BAD$ đều cạnh $a$

 

$\Rightarrow AB=BC=CD=DA=AC=BD=a$

 

Dễ tính độ dài các cạnh:

 

$\left\{\begin{matrix} IO=\frac{a}{4}\\ OB=\frac{a}{2}\\ IB=\frac{3a}{4} \end{matrix}\right.$

 

Đặt $GO=x$

 

$\Rightarrow GI=\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{16}}$

 

$\Rightarrow GB=\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$

 

Ta có: $GO.IB=GI.GB$

 

$\Leftrightarrow x.\frac{3a}{4}=\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{16}}.\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$

 

$\Rightarrow x=GO=\frac{a}{4}$

 

$\Rightarrow OO'=\frac{a}{2}$

 

Tính $S_{ABCD}=a^{2}\sqrt{3}$

 

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'}=S_{ABCD}.OO'=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 24-08-2013 - 19:37