Chưa có bài trả lời

[hoangtrong2305]

Trong bài viết này, tôi sẽ cho bạn thấy một trong những vấn đề có từ lâu, đó là tìm độ dốc tiếp tuyến của đường cong trước khi vi phân ra đời.

 

Từ khi chúng ta đã làm mẫu nhiều vấn đề vật lý bằng cách sử dụng đường cong thì một điều rất quan trọng rằng ta phải hiểu về độ dốc của đường cong ở nhiều điểm khác nhau và ý nghĩa của độ dốc trong những ứng dụng thực tế.

 

Hãy nhớ rằng: Ta đang cố gắng tìm tốc độ thay đổi của 1 đại lượng này so với đại lượng khác

 

Những ứng dụng bao gồm:

 

- Nhiệt độ thay đổi trong thời gian nhất định

 

- Vật tốc của 1 vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định.

 

- Dòng điện qua mạch trong thời gian nhất định

 

- Sự biến thiên của thị trường chứng khoán trong khoảng thời gian nhất định

 

- Sự gia tăng dân số trong khoảng thời gian nhất định.

 

- Nhiệt độ gia tăng theo tỉ trọng trong bình gas

 

Sau đó, ta sẽ khám phá ra tốc độ thay đổi của những điều trên bằng cách lấy vi phân hàm số và thay thế giá trị thích hợp vào. Bây giờ, ta bắt đầu tìm tốc độ thay đổi một cách gần đúng (có nghĩa là ta thay số vào cho đến khi ta tìm được giá trị xấp xỉ phù hợp)

 

Ta quan sát trường hợp tổng quát và viết phương trình phù hợp bao gồm ẩn $x$ (độc lập) và giá trị $y$ (không độc lập).

 

 

Độ dốc của đường cong $y=f(x)$ tại điểm $P$ chính là độ dốc tiếp tuyến tại $P$. Ta cần tìm độ dốc này để giải quyết nhiều ứng dụng vì nó cho ta biết tốc độ thay đổi một cách nhanh chóng.

 

(Ta viết $y=f(x)$ trên đường cong vì $y$ là hàm theo $x$, tức là, nếu $x$ thay đổi thì $y$ cũng thay đổi).

 

*Ký hiệu $\Delta$

 

Ở ký hiệu này, ta viết:

 

- Thay đổi theo $y$ là $\Delta y$

 

- Thay đổi theo $x$ là $\Delta x$

 

Theo định nghĩa này, độ dốc được cho bởi:

 

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

 

Ta dùng công thức này để tìm nghiệm bằng số độ dốc đường cong. 

 

Ví dụ: Tìm độ dốc của đường cong $y=x^{2}$ tại điểm $(2;4)$ sử dụng phương pháp tính bằng số 

 

Trả lời

 

Spoiler

Ta bắt đầu với điểm $Q(1;1)$ vì gần với điểm $P(2;4)$

 

Độ dốc của $PQ$ tính bởi:

$$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{4-1}{2-1}$$

$$=3$$

Bây giờ ta di chuyển điểm $Q$ quanh đường cong, tiến đến gần $P$, dùng điểm $Q(1,5;2,25)$ gần với $P(2;4)$
 

Dễ tính độ dốc đường cong $PQ$ là $m=3,5$

Ta thấy đây là giá trị xấp xỉ phù hợp với độ dốc tiếp tuyến tại $P$, nhưng ta có thể tìm được giá trị xấp xỉ tốt hơn.

Bây giờ ta di chuyển $Q$ lại gần $P$ hơn nữa, giả sử $Q(1,9;3,61)$

Bây giờ ta có:

 

Vậy ta tính được $m=3,9$

Ta thấy ta đã gần tìm được giá trị độ dốc cần tìm

Bây giờ nếu $Q$ tiếp tục di chuyển đến $(1,99;3,9601)$, độ dốc $PQ$ là $3,99$

Nếu $Q$ là $(1,999;3,996001)$ thì độ dốc là $3,999$

Rõ ràng, nếu $x\rightarrow 2$ thì độ dốc $PQ\rightarrow 4$, nhưng ta lưu ý rằng ta không được lấy $x=2$ vì như vậy phân số của $m$ có $0$ ở mẫu, điều này là vô lý (xem thêm vì sao mẫu số phải khác $0$ ?).

Ta đã tìm được tốc độ thay đổi của $y$ theo $x$ là $4$ tại điểm $x=2$.

 

Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân 

 

Bài trước: Giới hạn và vi phân

 

Bài tiếp: Đạo hàm từ gốc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 23-08-2013 - 19:35