Chủ đề này có 4 trả lời

[cobetinhnghic96]

Bài 1Cho hàm số y=$x^{4}-2mx^{2}+2m-3

Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác coa bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Bài 2

1) Giải pt $\sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^{2}+3x-1$

2)Giải hệ

$x^{3}\left ( 3y-2 \right )=-8$

$x\left ( y^{3} +2\right )=-6$

Bài 3

1) Tìm min

$\sqrt{x^{2}+3x+9}+\sqrt{x^{2}-3x+9}$

2)Cho 2 số dương a,b thỏa mãn $a+b+ab=3$ CMr

$\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}\geq 4$

Bài 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M,N là 2 điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng AB ,AD (M,N không trùng A) sao cho $\frac{AB}{AM}+2\frac{AD}{AN}=4$

 

1) CMR khi M,N thay đổi đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định

2) Gọi V và V' lần lượt là thể tích khối chóp S.ABCD , S.MBCDN . CMR

$\frac{2}{3}\leq \frac{V'}{V}\leq \frac{3}{4}$

 

 

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 2

Giải

1) ĐK: $x \geq \dfrac{1}{5}$

Phương trình tương đương:

$\sqrt{5x - 1} - 2 + \sqrt[3]{9 - x} - 2 = 2x^2 + 3x - 5$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{5(x - 1)}{\sqrt{5x - 1} + 2} + \dfrac{1 - x}{\sqrt[3]{(9 - x)^2} + 2\sqrt[3]{9 - x} + 4 } = (x - 1)(2x + 5)$

Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Với $x \neq 1$, chia hai vế cho  $x - 1$, ta được:

$\dfrac{5}{\sqrt{5x - 1} + 2} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{(9 - x)^2} + 2\sqrt[3]{9 - x} + 4 } + 2x + 5$

Nhận thấy: $VT \leq \dfrac{5}{2} < VF$ $\forall$ $x \geq \dfrac{1}{5}$

 

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

 

2) Dễ thấy, x = 0 không phải là nghiệm của hệ.

Với $x \neq 0$, hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}3y - 2 = \dfrac{-8}{x^3}\\y^3 + 2 = \dfrac{-6}{x}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{8}{x^3} + 3y = 2\\y^3 + \dfrac{6}{x} = -2\end{matrix}\right.$

 

Đặt $\dfrac{2}{x} = a$, ta được: $\left\{\begin{matrix}a^3 + 3y = 2\\y^3 + 3a = -2\end{matrix}\right.$

 

Cộng vế theo vế, ta được: $a^3 + y^3 + 3(a + y) = 0 \Leftrightarrow (a + y)(a^2 - ay + y^2 + 3) = 0 \, (1)$

 

Do $a^2 + ay + y^2 + 3 = (a + \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{3y^2}{4} + 3 \geq 3$ nên phương trình (1) tương đương: $a = -y$

 

Đến đây chỉ việc thế vào nữa là được.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1

Giải

TXĐ: D = R

Ta có: $y' = 4x^3 - 4mx$; $y' = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - m) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 0\\x^2 = m\end{matrix}\right.$

Hàm số có 3 cực trị khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt, do đó: $m > 0$

Các điểm cực trị của hàm số là: $A(0; 2m - 3); B(\sqrt{m}; -m^2 + 2m - 3)$ và $C(- \sqrt{m}; -m^2 + 2m - 3)$

Độ dài các cạnh lần lượt là: $AB = AC = \sqrt{m + m^4}$ và $BC = 2\sqrt{m}$

Ta có: $\cos{B} = \dfrac{\dfrac{BC}{2}}{AB} = \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{m + m^4}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + m^3}} \Rightarrow \sin{B} = \sqrt{\dfrac{m^3}{1 + m^3}}$

 

Mặt khác: $\dfrac{AC}{\sin{B}} = 2R$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Theo giả thiết R = 1, do đó: $AC = 2R\sin{B} \Leftrightarrow \sqrt{m + m^4} = 2\sqrt{\dfrac{m^3}{1 + m^3}}$

 

$\Leftrightarrow 1 + m^3 = 2m \Leftrightarrow (m - 1)(m^2 + m - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}m = 1\\m = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right.$

 

Do m > 0 nên ta chỉ nhận hai giá trị m = 1 và $m = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 3.1

Giải

Đặt: $A = \sqrt{x^2 + 3x + 9} + \sqrt{x^2 - 3x + 9} $

 

$= \sqrt{\left ( x + \dfrac{3}{2}\right )^2 + \dfrac{27}{4}} + \sqrt{\left ( \dfrac{3}{2} - x\right )^2 + \dfrac{27}{4}}$

 

Áp dụng BĐT: $\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{(a + c)^2 + (b + d)^2}$ 

Ta có:

$A \geq \sqrt{\left ( x + \dfrac{3}{2}+ \dfrac{3}{2} - x\right )^2 + \left (\dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right )^2} = 6$

 

Vậy $min_A = 6$

Dấu "=" xảy ra khi: $x = 0$

 

 

Bài 3.2

Giải

Đặt $S = a + b; P = ab \, (S^2 \geq 4P)$, theo giả thiết, ta có:

$S + P = 3 \leq S + \dfrac{S^2}{4} \Leftrightarrow S^2 + 4S - 12 \geq 0 \Leftrightarrow S \geq 2$ (Do a, b > 0)

Khi đó:

$A = \frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}$ 

 

$= \dfrac{4(a^2 + b^2) + 4(a + b)}{ab + a + b + 1} + 2ab - \sqrt{7 - 3ab}$

 

$= \dfrac{4(S^2 - 2P) + 4S}{4} + 2P - \sqrt{7 - 3(3 - S)} = S^2 + S - \sqrt{3S - 2}$

 

Ta cần chứng minh:

$A \geq 4 \Leftrightarrow S^2 + S - \sqrt{3S - 2} \geq 4$

 

$\Leftrightarrow S^2 + S - 6 + 2 - \sqrt{3S - 2} \geq 0 \Leftrightarrow (S - 2)\left (S + 3 - \dfrac{3}{2 + \sqrt{3S - 2}}\right ) \geq 0$

 

Với $S \geq 2 \Rightarrow S + 3 - \dfrac{3}{2 + \sqrt{3S - 2}} > \dfrac{7}{2}$ và $S - 2 \geq 0$

 

Vậy, ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 22-08-2013 - 10:25

[duongtoi]

Bài 1: Cho hàm số y=$x^{4}-2mx^{2}+2m-3$

Tìm $m$ để hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Bài 2

1) Giải pt $\sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^{2}+3x-1$

2)Giải hệ

$x^{3}\left ( 3y-2 \right )=-8$

$x\left ( y^{3} +2\right )=-6$

Bài 3

1) Tìm min

$\sqrt{x^{2}+3x+9}+\sqrt{x^{2}-3x+9}$

2)Cho hai số dương $a,b$ thỏa mãn $a+b+ab=3$ CMR

$\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}\geq 4$

Bài 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành . Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $AB ,AD$ ($M,N$ không trùng $A$) sao cho $\frac{AB}{AM}+2\frac{AD}{AN}=4$

 

1) CMR khi $M,N$ thay đổi đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định

2) Gọi $V$ và $V'$ lần lượt là thể tích khối chóp $S.ABCD$, $S.MBCDN$. CMR

$\frac{2}{3}\leq \frac{V'}{V}\leq \frac{3}{4}$