Chủ đề này có 3 trả lời

[thaibinh0102]

Cho $x,y,z$ thuộc $(0,2)$ sao cho $xyz=(2-x)(2-y)(2-z)$

Tìm GTNN của $P=x^4+y^4+z^4$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 23-08-2013 - 16:45

[25 minutes]

Cho $x,y,z$ thuộc $(0,2)$ sao cho $xyz=(2-x)(2-y)(2-z)$

Tìm GTNN của $P=x^4+y^4+z^4$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Từ giả thiết ta có $\frac{x}{2-x}.\frac{y}{2-y}.\frac{z}{2-z}=1$

Đặt $(\frac{x}{2-x},\frac{y}{2-y},\frac{z}{2-z})=(a,b,c)\Rightarrow abc=1$

Khi đó $x=\frac{2a}{a+1}$

$\Rightarrow P=(\frac{2a}{a+1})^4+(\frac{2b}{b+1})^4+(\frac{2c}{c+1})^4=16\left [ (\frac{a}{a+1})^4+(\frac{b}{b+1})^4+(\frac{c}{c+1})^4 \right ]$

Áp dụng AM-GM ta có 

   $(\frac{a}{a+1})^4+(\frac{b}{b+1})^4+(\frac{c}{c+1})^4\geqslant \frac{1}{3}\left [ (\frac{a}{a+1})^2+(\frac{b}{b+1})^2+(\frac{c}{c+1})^2 \right ]^2$

$\Rightarrow P \geqslant \frac{16}{3}\left [ \frac{a^2}{(a+1)^2}+\frac{b^2}{(b+1)^2}+\frac{c^2}{(c+1)^2} \right ]^2$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau 

     $(\frac{a}{a+1})^2+(\frac{b}{b+1})^2+(\frac{c}{c+1})^2 \geqslant \frac{3}{4}$ với $abc=1$

Khi đó dễ dàng thấy $P\geqslant \frac{16}{3}.(\frac{3}{4})^2=3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 23-08-2013 - 17:38

[germany3979]

Cho mình xin cách chứng minh bất đẳng thức $(\frac{a}{a+1})^{2}+(\frac{b}{b+1})^{2}+(\frac{c}{c+1})^{2}\geq \frac{3}{4}, abc=1$

[25 minutes]

Cho mình xin cách chứng minh bất đẳng thức $(\frac{a}{a+1})^{2}+(\frac{b}{b+1})^{2}+(\frac{c}{c+1})^{2}\geq \frac{3}{4}, abc=1$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\Rightarrow xyz=1$

BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên ta có thể giả sử $x \geqslant y \geqslant z>0$

                    $\Rightarrow xy\geqslant 1$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau : ( biến đổi tương đương )

                $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}=\frac{z}{z+1}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{z^2+2z+1}\geqslant \frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$