1 reply to this topic

[Nguyễn Hoàng Hảo]

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1.

Giải

Ta có: $P = x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \dfrac{1}{2}\left [ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\right ] \geq 0$

Vậy: $Min_P = 0$ khi $x = y = z = 1$

 

Giả sử $x \leq y \leq z$. Dễ thấy: $x \leq 1$ và $z \geq 1$. Đặt $x = 1 - a; z = 1 + b, y = 1 + a - b \, (0 \leq a, b \leq 1)$

Khi đó, biến đổi P và rút gọn, ta được:$P = 3(a^2 + b^2 - ab)$

Dễ thấy: Nếu $a \leq b$ thì $P = 3b^2 + 3a(a - b) \leq 3$

Tương tự: Nếu $b \leq a$ thì $P = 3a^2 + 3b(b - a) \leq 3$

Vì vậy: $Max_P = 3$. Dấu "=" xảy ra khi $x = 0, y = 1, z = 2$ và các hoán vị.

Bài 3.

Giải

Từ giả thiết, ta có: $x + y + z + 6 \geq x^2 + y^2 + z^2 \geq \dfrac{(x + y + z)^2}{3}$

Do đó: $-3 \leq x + y + z \leq 6$

Vì x, y, z > 0 nên $0 < x + y + z \leq 6$

Từ đó ta có:

$P = \dfrac{1}{x + y + 1} + \dfrac{1}{y + z + 1} + \dfrac{1}{z + x + 1} \geq \dfrac{9}{2(x + y + z) + 3} \geq \dfrac{3}{5}$

Vậy: $Min_P = \dfrac{3}{5}$ khi $x = y = z = 2$

 

Sai thì thôi bạn nhé