3 replies to this topic

[leduylinh1998]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O,đường tròn tâm $O_{1}$ tiếp xúc với AB, AC tại P, Q và tiếp xúc với (O) tại S, AS cắt PQ tại D . Cm:$\angle BDP=\angle CDQ$   

Edited by leduylinh1998, 26-08-2013 - 23:19.

[leduylinh1998]

Sao chẳng ai làm được thế

[IloveMaths]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O,đường tròn tâm $O_{1}$ tiếp xúc với AB, AC tại P, Q và tiếp xúc với (O) tại S, AS cắt PQ tại D . Cm:$\angle BDP=\angle CDQ$   

giải như sau :

Dễ dàng chứng minh SP,SQ lần lượt là phân giác các góc ASB và góc ASC

Xét tam giác BPD và tam giác CQD có:

$\widehat{BPD}=\widehat{CQD}$

Ta cần chứng minh $\frac{BP}{CQ}=\frac{PD}{QD}$

Theo tính chất đường phân giác suy ra

$\frac{SB}{SC}=\frac{BP}{QC}$

Mà $\frac{SB}{SC}=\frac{sin \widehat{SCB}}{sin\widehat{SBC}}=\frac{sin \widehat{BAS}}{sin\widehat{SAC}}$

Việc còn lại  cần chứng minh :

$\frac{PD}{QD}=\frac{sin\widehat{SAB}}{sin\widehat{SAC}}\Leftrightarrow \frac{PD}{sin\widehat{SAB}}=\frac{QD}{sin\widehat{SAC}}(=\frac{AD}{sin\widehat{APQ}}=\frac{AD}{sin\widehat{AQP}})$

$\Rightarrow Q.E.D$    

Edited by IloveMaths, 31-08-2013 - 09:19.

[hoctrocuanewton]

giải như sau :

Dễ dàng chứng minh SP,SQ lần lượt là phân giác các góc ASB và góc ASC

Xét tam giác BPD và tam giác CQD có:

$\widehat{BPD}=\widehat{CQD}$

Ta cần chứng minh $\frac{BP}{CQ}=\frac{PD}{QD}$

Theo tính chất đường phân giác suy ra

$\frac{SB}{SC}=\frac{BP}{QC}$

Mà $\frac{SB}{SC}=\frac{sin \widehat{SCB}}{sin\widehat{SBC}}=\frac{sin \widehat{BAS}}{sin\widehat{SAC}}$

Việc còn lại  cần chứng minh :

$\frac{PD}{QD}=\frac{sin\widehat{SAB}}{sin\widehat{SAC}}\Leftrightarrow \frac{PD}{sin\widehat{SAB}}=\frac{QD}{sin\widehat{SAC}}(=\frac{AD}{sin\widehat{APQ}}=\frac{AD}{sin\widehat{AQP}})$

$\Rightarrow Q.E.D$    

Edited by hoctrocuanewton, 31-08-2013 - 23:28.