Chủ đề này có 2 trả lời

[quocvieta3]

cho  n số dương $0< x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant ...\leqslant x_{n}$ . Chứng minh rằng với $n\geqslant 3$ ta có 

$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i+1}}{x_{i}}$ với qui ước $x_{n+1}=x_{1}$

[LNH]

cho  n số dương $0< x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant ...\leqslant x_{n}$ . Chứng minh rằng với $n\geqslant 3$ ta có 

$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i+1}}{x_{i}}$ với qui ước $x_{n+1}=x_{1}$

Xem TLCT 10 

[NLBean]

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp :

Với n =3 , ta có dễ dàng biến đổi :

$\sum_{i=1}^{3}\frac{x_{i}}{x_{i+1}} - \sum_{i=1}^{3}\frac{x_{i+1}}{x_{i}} = \frac{(x_{3} - x_{2})(x_{2} - x_{1})(x_{3} - x_{1})}{x_{1}x_{2}x_{3}} \geq 0$ . Vậy với n = 3 thì bất đẳng thức đã cho đúng.

Giả sử $n = k \geq 3$sao cho $\sum_{i=1}^{k}\frac{x_{i}}{x_{i+1}} \geq \sum_{i=1}^{k}\frac{x_{i+1}}{x_{i}}$ $(1)$

Xét $k+1$ số dương $0 < x_{1} \leq ...... \leq x_{k} \leq x_{k+1}$ . Vì $k=3$ đúng nên với 3 số dương $0 < x_{1} \leq x_{k} \leq x_{k+1}$, ta có:

$\frac{x_{1}}{x_{k}} + \frac{x_{k}}{x_{k+1}} + \frac{x_{k+1}}{x_{1}} \geq \frac{x_{k}}{x_{1}} + \frac{x_{k+1}}{x_{k}} + \frac{x_{1}}{x_{k+1}}$ $(2)$

Cộng (1) va (2) theo vế , ta được :

$\sum_{i=1}^{k+1}\frac{x_{i}}{x_{i+1}} \geq \sum_{i=1}^{k+1}\frac{x_{i+1}}{x_{i}}$

Theo nguyên lý quy nạp , ta có điều phải chứng minh là đúng