1 reply to this topic

[hoanggiang9696]

cho a,b,c>0 thoa man a³+b³=c³

cmr :$a^{2}+b^{2}-c^{2}> 6\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Từ giả thiết, ta có: $\left (\dfrac{a}{c} \right )^3 + \left (\dfrac{b}{c} \right )^3 = 1$

Đặt $x = \dfrac{a}{c}; y = \dfrac{b}{c} \, (x, y > 0), S = x + y, P = xy$, ta có: $x^3 + y^3 = 1 \Rightarrow S^3 - 3PS = 1$

Do đó: $P = \dfrac{S^3 - 1}{3S}$ và khi đó $\dfrac{S^3}{4} \leq x^3 + y^3 = 1 \Leftrightarrow 0 <S \leq \sqrt[3]{4}$

Khi đó, chia cả 2 vế của bất đẳng thức cần chứng minh cho $c^2$ và thay ẩn, ta được:

$x^2 + y^2 - 1> 6(1 - x)(1 - y) $

 

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 - 6xy + 6(x + y) - 7 > 0$

 

$\Rightarrow S^2 - 8P + 6S - 7 > 0 \Leftrightarrow 5S^3 - 18S^2 + 21S - 8 < 0$ (thay $P = \dfrac{S^3 - 1}{3S}$)

 

$\Leftrightarrow (5S - 8)(S - 1)^2 < 0 \Leftrightarrow S < \dfrac{8}{5}$

 

Vì $S \leq \sqrt[3]{4} < \dfrac{8}{5}$ nên hiển nhiên bất đẳng thức luôn đúng.

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 26-08-2013 - 21:24.