1 reply to this topic

[Alexman113]

Cho các số thực $x,\,y$ sao cho $x\neq0$ và $y>0$ thỏa mãn $2y^2\left(11x^2+1\right)=8x^4+6y^4+1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$A=\dfrac{x^2y}{\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{4x^2+y^2}+y\right)}$$

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Đặt $t = \dfrac{x^2}{y^2}$

Từ giả thiết, ta có:

$22\dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{2}{y^2} = 8\dfrac{x^4}{y^4} + 6 + \dfrac{1}{y^4}$

 

$\Rightarrow 8t^2 - 22t + 6 = - \left ( \dfrac{1}{y^2} - 1\right )^2 + 1 \leq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{4} \leq t \leq \dfrac{5}{2}$

 

Khi đó:

$A=\dfrac{x^2y}{\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{4x^2+y^2}+y\right)} = \dfrac{\dfrac{x^2}{y^2}}{\left ( \dfrac{x^2}{y^2} + 1\right ) \left ( \sqrt{4\dfrac{x^2}{y^2} + 1} + 1\right )}$

 

$\Rightarrow A = \dfrac{t}{(t + 1)\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )}$

 

Xét hàm số $f(t) = \dfrac{t}{(t + 1)\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )}$ trên $\left [ \dfrac{1}{4}; \dfrac{5}{2}\right ]$

 

Có: $f'(t) = \dfrac{-2t^2 + 2t + \sqrt{4t + 1} + 1}{(t + 1)^2\sqrt{4t + 1}\left ( \sqrt{4t + 1} + 1\right )^2}$

Khi đó: $f'(t) = 0 \Leftrightarrow -2t^2 + 2t + \sqrt{4t + 1} + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2$

 

Vì vậy, ta tìm được: $Min_A = \underset{\forall t \in \left [\dfrac{1}{4}; \dfrac{5}{2} \right ]}{Min_{f(t)}} = f\left (\dfrac{1}{4} \right ) = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{5}$

 

Dấu "=" xảy ra khi $t = \dfrac{1}{4}$ và $y^2 = 1$. Khi đó: $y = 1$ và $x = \pm \dfrac{1}{2}$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 28-08-2013 - 16:48.