Hạ sĩ
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ có đường cao hạ từ $A$, đường phân giác hạ từ $C$ và đường trung tuyến hạ từ $B$ đồng quy. Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$. Chứng minh: $(a+b)(a^2+b^2-c^2)=2a^2b$.
Bài 2: Cho tam giác $ABC$, O là một điển trong tam giác. BO cắt AC tại M và CO cắt AB tại N. Dựng các hình bình hành MONE và BOCF. Chứng minh A;E;F thẳng hàng.
PQT
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ có đường cao hạ từ $A$, đường phân giác hạ từ $C$ và đường trung tuyến hạ từ $B$ đồng quy. Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$. Chứng minh: $(a+b)(a^2+b^2-c^2)=2a^2b$.
Lời giải. Trước hết, ta đi chứng minh hệ thức sau: $a^2+b^2-c^2=2a \cdot HC$.
Thật vậy, ta có $$AB^2=AH^2+BH^2=AC^2+HB^2-HC^2=AC^2+BC^2-2HC \cdot BC \\ \Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=2HC \cdot a$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $(a+b) \cdot HC = ab$.
Áp dụng định lý Ceva ta có $$\frac{HB}{HC} \cdot \frac{MC}{MA} \cdot \frac{CA}{CB}=1 \Leftrightarrow \frac{HC}{HB}= \frac{CA}{CB} \Leftrightarrow \frac{CH}{BC}= \frac{CA}{CA+CB} \Leftrightarrow CH= \frac{BC \cdot CA}{CA+CB}$$
Hay $CH= \frac{ab}{b+a} \Leftrightarrow (a+b) \cdot HC =ab$.
Ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 28-08-2013 - 22:11
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Thiếu úy
Bài 2: Cho tam giác $ABC$, O là một điển trong tam giác. BO cắt AC tại M và CO cắt AB tại N. Dựng các hình bình hành MONE và BOCF. Chứng minh A;E;F thẳng hàng.
$NE$ cắt $BF$ tại $G\ ;\ BM$ cắt $AF$ tại $L.$
Áp dụng hệ quả Thales vào tam giác $ABL$ $(NE\parallel BL)$ và tam giác $GFE$ $(BL\parallel GE),$ ta có:
$\dfrac{NA}{BA}=\dfrac{NE}{BL}$ và $\dfrac{GE}{BL}=\dfrac{GF}{BF}$
Ta có:
$$\dfrac{GE}{NE}\cdot\dfrac{NA}{BA}\cdot\dfrac{BF}{GF}=\dfrac{GE}{NE}\cdot\dfrac{NE}{BL}\cdot\dfrac{BF}{GF}=\dfrac{GE}{BL}\cdot\dfrac{BF}{GF}=\dfrac{GF}{BF}\cdot\dfrac{BF}{GF}=1$$
Do đó $\dfrac{GE}{NE}\cdot\dfrac{NA}{BA}\cdot\dfrac{BF}{GF}=1.$
Theo định lý mê-nê-la-uýt cho tam giác $GBN$ ta có $A, E, F$ thằng hàng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 28-08-2013 - 22:37
PQT
$NE$ cắt $BF$ tại $G.$ $BM$ cắt $AF$ tại $L.$
Áp dụng hệ quả Thales vào tam giác $ABL$ $(NE\parallel BL)$ và tam giác $GFE$ $(BL\parallel GE),$ ta có:
$\dfrac{NA}{BA}=\dfrac{NE}{BL}$ và $\dfrac{GE}{BL}=\dfrac{GF}{BF}$
Ta có:
$$\dfrac{GE}{NE}\cdot\dfrac{NA}{BA}\cdot\dfrac{BF}{GF}=\dfrac{GE}{NE}\cdot\dfrac{NE}{BL}\cdot\dfrac{BF}{GF}=\dfrac{GE}{BL}\cdot\dfrac{BF}{GF}=\dfrac{GF}{BF}\cdot\dfrac{BF}{GF}=1$$
Do đó $\dfrac{GE}{NE}\cdot\dfrac{NA}{BA}\cdot\dfrac{BF}{GF}=1.$
Theo định lý mê-nê-la-uýt ta có $A, E, F$ thằng hàng.
Đây là Menelaus cho tam giác nào nhỉ ??
@Dark: Tam giác $GBN$ nha Toàn 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 28-08-2013 - 22:36
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Hạ sĩ
Bài làm của bạn darkblood trong cách chứng minh A;E;F thẳng hàng đã hoàn toàn sai. Bởi vì: A,E,F chưa thẳng hàng cho nên không thể nói L thuộc EF để áp dụng ta-lét
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
