Chủ đề này có 1 trả lời

[thienminhdv]

Cho ba số dương thoả mãn $a(3a-2013)+b(3b-2013)+c(3c-2013)\leq 2014$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:  $P=a(1-\cfrac{1}{a^2})+b(1-\cfrac{1}{b^2})+c(1-\cfrac{1}{c^2})$

 

[nguyentrungphuc26041999]

Cho ba số dương thoả mãn $a(3a-2013)+b(3b-2013)+c(3c-2013)\leq 2014$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:  $P=a(1-\cfrac{1}{a^2})+b(1-\cfrac{1}{b^2})+c(1-\cfrac{1}{c^2})$

theo giả thiết ta có

$3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-2013\left ( a+b+c \right )\leq 2014$

vì$3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}$

$\Rightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}-2013\left ( a+b+c \right )-2014\leq 0$

đặt $a+b+c=x$

giải bất phương trình ta được

$-1\leq x\leq 2014$

$P=a+b+c-\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq a+b+c-\frac{9}{a+b+c}=x-\frac{9}{x}$

ta có 

$x\leq 2014$

$\frac{9}{x}\geq \frac{9}{2014}$

$\Rightarrow x-\frac{9}{x}\leq 2014-\frac{9}{2014}$

dấu bằng xảy ra khi $x=2014$