Chủ đề này có 1 trả lời

[cool hunter]

Tìm a sao cho pt: $x^{2}-2x\left \lfloor x \right \rfloor+x-a=0$ có hai nghiệm không âm

[BuiNguyenQuynhLinh]

Tìm a sao cho pt: $x^{2}-2x\left \lfloor x \right \rfloor+x-a=0$ có hai nghiệm không âm

Mình tạm gọi d thay cho kí hiệu delta ha!

[x] = x-t với 0<=t<1. 

Phương trình đã cho có thể biểu diễn thành :

$x^{2} -(2t+1)x +a = 0$

Gọi d là kí hiệu biệt thức delta cho pt ẩn x và hai tham số t,a trên

Giả sử gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt này

Do x1, x2 không âm nên a>=0

Pt trên sẽ có nghiệm như sau:

                                                     x1 = t + (1 - sqrt(d)) \ 2                              x2 = t + (1 +sqrt(d)) \ 2

Theo giả thiết, rõ ràng x - t là một số nguyên   

      Suy ra sqrt(d) là số hửu tỷ, nếu gọi sqrt(d) = p\q thì ta suy ra q =1 nghĩa là sqrt(d) là số nguyên

      => d là một số chính phương

Ta có d = $(2t+1)^{2} - 4a$ là số chính phương 

Do 0<= t <1 nên suy ra d chỉ có thể là 1 hoặc 4 ( các số chính phương nằm giữa 0 và 9)

Thay lần lượt d =1 và d= 4 vào để tính x - t thì ta chọn d = 1 ( đảm bảo dk [x] là số nguyên )

Như vậy d = 1 thì hai nghiệm pt cho trên lần lượt là 

              t và t+1   với ( 0<=t < 1)   

Theo công thức biểu diễn của d ta suy ra

             a = $t^{2} + t$ với 0<= t < 1

=> 0<= a < 2 

Ta đảo lại:

Với a được lấy trong [0,2) thì luôn tồn tại số t thuộc [0,1) thỏa a =$t^{2} + t$ 

Lúc đó thì phương trình 

    $x^{2} - 2x[x] + x -a = 0$  luôn có 2 nghiệm là t và t+1 ( thử lại thì dễ thấy)

Như vậy ta kết luận được;

PT đã cho có nghiệm thỏa đề khi và chỉ khi 0<= a <2