Cho $a,b,c\geqslant 0,a+b+c=1$. Chứng minh:
a. $a^3 + b^3 +c^3 + 6abc \geqslant \frac{1}{4}$
b.$ 7(ab+bc+ca)\leqslant 2 + 9abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 30-08-2013 - 22:14
Cho $a,b,c\geqslant 0,a+b+c=1$ chứng minh $a^3 + b^3 +c^3 + 6abc \geqslant \frac{1}{4}$
Bắt đầu bởi phancuong123, 30-08-2013 - 21:17
#2
Đã gửi 30-08-2013 - 22:12
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
cho $a,b,c\geqslant 0,a+b+c=1$. Chứng minh:
b.$ 7(ab+bc+ca)\leqslant 2 + 9abc$
Lời giải. Đặt $a+b+c=p, ab+bc+ca=q,abc=r$ thì $p=1$. Áp dụng BĐT Schur ta có $4pq \le p^3+9r \Leftrightarrow 7q \le \frac{7+63r}{4}$.
Lại có $\frac{7+63r}{4} \le 2+9r \Leftrightarrow 27r \le 1$, đúng vì $27abc \le (a+b+c)^3=1$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= \frac 13$.
- Phạm Hữu Bảo Chung, ducthinh26032011, caybutbixanh và 2 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 30-08-2013 - 23:40
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Giải
a) Đặt $p = a + b + c; q = ab + bc + ca, r = abc$. Theo giả thiết: $p = 1$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
$(a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2$
$\Rightarrow p(p^3 - 3pq + 3r) \geq (p^2 - 2q)^2 \Leftrightarrow p^2q + 3pr \geq 4q^2 \Rightarrow 3r \geq 4q^2 - q\, (1)$
Khi đó, ta cần chứng minh:
$p^3 - 3pq + 3r + 6r \geq \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 9r - 3q + \dfrac{3}{4} \geq 0 \Leftrightarrow 12r - 4q + 1 \geq 0$
Từ (1), ta có: $VT = 12r - 4q + 1 \geq 4(4q^2 - q) - 4q + 1 = 16q^2 - 8q + 1 = (4q - 1)^2 \geq 0$
Vậy, ta có điều phải chứng minh. Dấu"=" xảy ra khi $a = 0, b = c = \dfrac{1}{2}$ và các hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 30-08-2013 - 23:41
- Zaraki, caybutbixanh và DarkBlood thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
