Chủ đề này có 5 trả lời

[thienminhdv]

Cho 3 số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 

$P=\cfrac{1}{a^4(b+c)}+\cfrac{1}{b^4(c+a)}+\cfrac{1}{c^4(a+b)}$

 

[etucgnaohtn]

$\frac{1}{a^4(b+c)}+\frac{a}{2}+\frac{b+c}{4}\geq \frac{3}{2a}$

Tương tự ...

[canhhoang30011999]

$\frac{1}{a^4(b+c)}+\frac{a}{2}+\frac{b+c}{4}\geq \frac{3}{2a}$

Tương tự ...

bạn giải cụ thể ra đi

[bangbang1412]

bạn giải cụ thể ra đi

$P=\sum \frac{1}{a^{4}(b+c)}$

Mà $\sum [\frac{1}{a^{4}(b+c)}+\frac{a}{2}+\frac{b+c}{4}]\geq \sum \frac{3}{2a}$

Sau đó bạn trừ vế với vế kết hợp giải thiết $abc=1$ thì $\sum \frac{1}{a}\geq 3$

Ý bạn kia là nt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 31-08-2013 - 17:37

[canhhoang30011999]

$P=\sum \frac{1}{a^{4}(b+c)}$

Mà $\sum [\frac{1}{a^{4}(b+c)}+\frac{a}{2}+\frac{b+c}{4}]\geq \sum \frac{3}{2a}$

Sau đó bạn trừ vế với vế kết hợp giải thiết $abc=1$ thì $\sum \frac{1}{a}\geq 3$

Ý bạn kia là nt

ta có $\sum \frac{1}{a}\geq 3$

$\sum \frac{a}{2}+\frac{b+c}{4}$$= a+b+c\geq 3$

vậy làm sao đánh giá P được

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Ta có:

$\dfrac{1}{a^4(b+c)}+\dfrac{1}{b^4(c+a)}+\dfrac{1}{c^4(a+b)} = \dfrac{b^4c^4}{b+c} +\dfrac{a^4c^4}{c+a} + \dfrac{a^4b^4}{a+b}$

 

$\geq \dfrac{(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)^2}{2(a + b + c)} \geq \dfrac{(ab + bc + ca)^4}{18(a + b + c)}$

 

Vì $3abc(a + b + c) \leq (ab + bc + ca)^2 \Rightarrow a + b + c \leq \dfrac{(ab + bc + ca)^2}{3}$

Do đó:

$\dfrac{(ab + bc + ca)^4}{18(a + b + c)} \geq \dfrac{(ab + bc + ca)^2}{6} \geq \dfrac{3}{2}$

 

Vậy: $Min_P = \dfrac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$