Cho $x,\,y,\,z>0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\left(xyz+1\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}-x-y-z$$
Tìm min $P=\sum(xyz+1)-x-y-z$
Bắt đầu bởi Alexman113, 01-09-2013 - 13:48
#1
Đã gửi 01-09-2013 - 13:48
Alexman113
-
- Thành viên
-
- 666 Bài viết
Thiếu úy
KK09XI~ Nothing fails like succcess ~
#2
Đã gửi 01-09-2013 - 14:57
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Giải
Ta có:
$\left(xyz+1\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}-x-y-z$
$= xy + yz + zx + \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}-x-y-z$
Ta có:
$xy + \dfrac{x}{y} - x + \dfrac{1}{x} \geq 2\sqrt{xy.\dfrac{x}{y}} - x + \dfrac{1}{x} = x + \dfrac{1}{x} \geq 2$
Thực hiện tương tự với các biểu thức còn lại rồi cộng vế theo vế, suy ra: $P \geq 6$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = z = 1$
- Lugiahooh yêu thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
