Chủ đề này có 3 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Chứng minh với mọi a, b, c không âm:

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ac}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

[letankhang]

Chứng minh với mọi a, b, c không âm:

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ac}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

Vậy đúng không nhỉ !?

Áp dụng BĐT : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3(a+b+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+8bc}\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac)}$

Vậy ta cần chứng minh : $\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac)}\leq 3(a+b+c)$

$\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac)}\leq 3(a+b+c)\Leftrightarrow 9a^{2}+9b^{2}+9c^{2}+18ab+18ac+18bc\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 6(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6(ab+bc+ca)\geq 0$

BĐT cuối luôn đúng

Suy ra $(đpcm)$

[canhhoang30011999]

Chứng minh với mọi a, b, c không âm:

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ac}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

$VT^{2}\leq \left ( 1+1+1 \right )\left ( a^{2}+8bc+b^{2}+8ac+c^{2}+8ab \right )$(bđt bunhiacốpxli)

$\leq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+6\left ( ab+bc+ca \right )$$= 9\left ( a+b+c \right )^{2}=VP^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 02-09-2013 - 09:33

[nguyentrungphuc26041999]

Chứng minh với mọi a, b, c không âm:

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ac}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

áp dụng bđt bunhiacopski

$\left ( \sum \sqrt{a^{2}+8bc} \right )^{2}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+8\left ( ab+bc+ca \right ) \right )$

bây giờ chỉ cần chứng minh$a^{2}+b^{2}+c^{2}+8\left ( ab+bc+ca \right )\leq 3\left ( a+b+c \right )^{2}$

nhân tung ra bđt tương đương

$8\left ( ab+bc+ca \right )\leq 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right ) +6\left ( ab+bc+ca \right )$

hay$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$(hiển nhiên đúng)