Chủ đề này có 3 trả lời

[maixuanhang]

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $a+b+c+abc = 4$. Tìm GTNN  của biểu thức $P = a^4+b^4+c^4$

[nguyentrungphuc26041999]

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $a+b+c+abc = 4$. Tìm GTNN  của biểu thức $P = a^4+b^4+c^4$

áp dung bất đẳng thức cauchy

$4=a+b+c+abc\leq a+b+c+\frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{27}$

đặt $a+b+c=x$

$\Rightarrow \frac{x^{3}}{27}+x-4\geq 0$

giải bất phương trình ta được  $x\geq 3$

hay$a+b+c\geq 3$

ta có $\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )27\geq 9\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq \left ( a+b+c \right )^{4}\geq 81$

$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

[IloveMaths]

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $a+b+c+abc = 4$. Tìm GTNN  của biểu thức $P = a^4+b^4+c^4$

$a^4+b^4+c^4+1+1+1+1+1+1+1+1+1\geq 4a+4b+4c$

$a^4+b^4+c^4+1\geq 4abc$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a+b+c+abc)-10=6\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq 3$

 

[Messi10597]

Ta có: $a^{4}+1+1+1\geq 4a$

           $b^{4}+3\geq 4b$

           $c^{4}+3\geq 4c$

           $a^{4}+b^{4}+c^{4}+1\geq 4abc$

Cộng lại ta đc $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$