Chủ đề này có 3 trả lời

[tienthcsln]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

CMR: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+2abc\left (a+b+c \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( ab+bc+ca \right )$

[N H Tu prince]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

CMR: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+2abc\left (a+b+c \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( ab+bc+ca \right )$

Cách sử dụng đao to búa lớn

Sử dụng phép thế Ravi,đặt $a=x+y,b=y+z,c=z+x$

Bất đẳng thức tương đương với:

$4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-4xyz(x+y+z)\ge 0$

$\Leftrightarrow 2y^2(z-x)^2+2z^2(x-y)^2+2x^2(y-z)^2\ge 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 03-09-2013 - 13:31

[thuan192]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

CMR: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+2abc\left (a+b+c \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( ab+bc+ca \right )$

Theo BĐT Schur bậc hai ta có:

 

                                          $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc\left ( a+b+c \right )\geq a^{3}\left ( b+c \right )+b^{3}\left ( c+a \right )+c^{3 }\left ( a+b \right )$

                                               <=>$a^{4}+b^{4}+c^{4}+2abc\left ( a+b+c \right )\geq a^{3}\left ( b+c \right )+b^{3}\left ( c+a \right )+c^{3 }\left ( a+b \right )+abc\left ( a+b+c \right )$

 

                                               <=>$a^{4}+b^{4}+c^{4}+2abc\left ( a+b+c \right )\geq a^{3}\left ( b+c \right )+a^{2}bc+b^{3}\left ( c+a \right )+ab^{2}c+c^{3}\left ( a+b \right )+abc^{2}$

                                                    

                                                suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuan192: 03-09-2013 - 15:46

[thuan192]

Đây là bài toán tương tự với bài toán trên

  

                          CMR : Nếu a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 2 ta luôn có

 

                                                  $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$