Chủ đề này có 5 trả lời

[trungcht]

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I.$ Tiếp điểm của $(I)$ với $BC, CA, AB$ lần lượt là $D,E,F,$ Phân giác $\widehat{EDF}$ cắt $EF$ tại $N,$ phân giác $\widehat{BIC}$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh: $A, N, M$ thẳng hàng.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungcht: 05-09-2013 - 20:52

[tranquocluat_ht]

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I.$ Tiếp điểm của $(I)$ với $BC, CA, AB$ lần lượt là $D,E,F,$ Phân giác $\widehat{EDF}$ cắt $EF$ tại $N,$ phân giác $\widehat{BIC}$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh: $A, N, M$ thẳng hàng.

Hình vẽ

[LNH]

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I.$ Tiếp điểm của $(I)$ với $BC, CA, AB$ lần lượt là $D,E,F,$ Phân giác $\widehat{EDF}$ cắt $EF$ tại $N,$ phân giác $\widehat{BIC}$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh: $A, N, M$ thẳng hàng.

 

 

Hình vẽ

Xét 2 TH:

TH1: $EF$ song song $BC$ (có thể dễ dàng CM được)

TH2: $EF$ cắt $BC$ tại $K$

Ta sẽ CM $\left ( KMBC \right )=\left ( KNFE \right )$

Theo Menelaus cho cát tuyến $KFE$ và tam giác $ABC$ ta suy ra $\frac{KB}{KC}=\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{DC}$

$\left ( KMBC \right )=-\frac{BD}{DC}:\frac{MB}{MC}=-\frac{BD}{DC}:\frac{IB}{IC}$

Tương tự, $\left ( KNFE \right )=-\frac{CA}{CE}.\frac{BF}{BA}:\frac{DF}{DE}=-\frac{CA}{BA}.\frac{BD}{DC}:\frac{BD.sin\frac{B}{2}}{DC.sin\frac{C}{2}}=-\frac{CA}{BA}.\frac{sin\frac{C}{2}}{sin\frac{B}{2}}$

Điều cần CM tương đương với

$\frac{cos\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}}=\frac{CA}{BA}.\frac{sin\frac{C}{2}}{sin\frac{B}{2}}$

Cái này khá đơn giản

Suy ra đpcm

[IloveMaths]

Hình vẽ

  Giải như sau : 

$\overrightarrow{AN}=\frac{BN}{BC}.\overrightarrow{AC}+\frac{CN}{BC}.\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AM}=\frac{EM}{EF}.\overrightarrow{AF}+\frac{MF}{EF}.\overrightarrow{AE}=\frac{EM.AF}{EF.AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{FM.AE}{EF.AC}.\overrightarrow{AC}$

Ta chứng minh :

$\frac{BN}{BC}.\frac{FE.AC}{FM.AE}=\frac{CN}{BC}.\frac{EF.AB}{EM.FA}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BN.EM}{CN.MF}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{IB}{IC}.\frac{ED}{DF}$

 Đến đây thì dễ dàng chứng minh rồi   

Vậy A,M,N thẳng hàng 

[Mai Xuan Son]

${CN.MF}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{IB}{IC}.\frac{ED}{DF}$

 Đến đây thì dễ dàng chứng minh rồi   

Vậy A,M,N thẳng hàng 

Làm kĩ đi bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Xuan Son: 06-09-2013 - 20:58

[cool hunter]

Bài này trong mục giải bài kì trước ở THTT số 429, tức là đề ra kì này ở số 425 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cool hunter: 08-09-2013 - 21:15