1 reply to this topic

[ijkm]

Đề: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x}{x+2}$, biết rằng bình phương khoảng cách từ điểm $A(-2; 2)$ đến tiếp tuyến bằng $\frac{192}{25}$.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Gọi phương trình tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: (d): $y = kx + m$

Tọa độ tiếp điểm của (d) và (C) là: $M(x_o; y_o)$, ta có:

$\left\{\begin{matrix}k = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}\\kx_o + m = \dfrac{2x_o}{x_o + 2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}\\m = \dfrac{2x_o^2}{x_o + 2}\end{matrix}\right.$

Khi đó: (d) có phương trình: $y = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}x + \dfrac{2x_o^2}{(x_o + 2)^2}$

Khoảng cách từ A đến (d) được xác định bằng:
$d_{(A; (d))} = \dfrac{|-2k - 2 + m|}{\sqrt{k^2 + 1}}$

$\Rightarrow d^2_{(A; (d))} = \dfrac{(2k - m + 2)^2}{k^2 + 1} = \dfrac{\left ( \dfrac{8}{(x_o + 2)^2} - \dfrac{2x_o^2}{(x_o + 2)^2} + 2\right )^2}{\dfrac{16}{(x_o + 2)^4} + 1}$

$\Leftrightarrow \dfrac{192}{25} = \dfrac{64(x_o + 2)^2}{(x_o + 2)^4 + 16}$

 

Đặt $a = (x_o + 2)^2$, ta được:
$\dfrac{3}{25} = \dfrac{a}{a^2 + 16} \Leftrightarrow 3a^2 - 25a + 48 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = \dfrac{16}{3}\\a = 3\end{matrix}\right.$

Việc còn lại là thay vào Bạn thử kiểm tra lại kết quả cái nhé.