Chủ đề này có 1 trả lời

[binvippro]

Cho $\left ( x+\sqrt{x^2+5} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+5} \right )= 5$

Tính giá trị của A=x+y

[25 minutes]

Cho $\left ( x+\sqrt{x^2+5} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+5} \right )= 5$

Tính giá trị của A=x+y

Nhân cả 2 vế với $(\sqrt{x^2+5}-x)(\sqrt{y^2+5}-y)$ ta được

      $25=5(\sqrt{x^2+5}-x)(\sqrt{y^2+5}-y)$

$\Rightarrow (\sqrt{x^2+5}-x)(\sqrt{y^2+5}-y)=(\sqrt{x^2+5}+x)(\sqrt{y^2+5}+y)$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{x^2+5}-x}{\sqrt{x^2+5}+x}=\frac{\sqrt{y^2+5}+y}{\sqrt{y^2+5}-y}$

$\Rightarrow 1-\frac{2x}{\sqrt{x^2+5}+x}=1+\frac{2y}{\sqrt{y^2+5}-y}$

$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+5}+x}+\frac{y}{\sqrt{y^2+5}-y}=0$

$\Rightarrow x\sqrt{y^2+5}+y\sqrt{x^2+5}=0$

Giả sử $x,y>0$, vô nghiệm

Giả sử $x,y<0$, vô nghiệm

Giả sử $xy \leqslant 0$

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $x \geqslant 0, y \leqslant 0$

Đặt $y=-a \geqslant 0$

$\Rightarrow x\sqrt{a^2+5}-a\sqrt{x^2+5}=0$

$x^2(a^2+5)=a^2(x^2+5)\Leftrightarrow x=a\Rightarrow x+y=0$