2 replies to this topic

[pcfamily]

Tứ giác $ABCD$ có $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AB,AC,CD,BD$. $AD+BC=2014$

Tìm $GTNN$ của $MP$

Edited by pcfamily, 09-09-2013 - 22:47.

[duongtoi]

 

Tứ giác $ABCD$ có $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AB,AC,CD,BD$. $AD+BC=2014$

Tìm $GTNN$ của $MP$

 

Ta có $\vec{MP}=\vec{MA}+\vec{AD}+\vec{DP}=\frac{1}{2}\vec{BA}+\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{DC}$

$=\frac{1}{2}(\vec{BD}+\vec{AD}+\vec{DC})=\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BC})$

Suy ra, $MP=|\vec{MP}|=\frac{1}{2}|\vec{AD}+\vec{BC}|$.

$=\frac{1}{2}|\vec{AD}+\vec{BC}|=\frac{1}{2}\sqrt{(AD+BC)^2-2AD.BC(1-\cos(AD,BC))}$

Ta có $0\le \cos(AD,BC)< 1;AD.BC\le\frac{(AD+BC)^2}{4}$

Vậy $MP\ge \frac{1}{2}\sqrt{2014^2-2.\frac{2014^2}{4}}=\frac{1007\sqrt2}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $AD;BC$ vuông góc với nhau.

[pcfamily]

Ta có $\vec{MP}=\vec{MA}+\vec{AD}+\vec{DP}=\frac{1}{2}\vec{BA}+\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{DC}$

$=\frac{1}{2}(\vec{BD}+\vec{AD}+\vec{DC})=\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BC})$

Suy ra, $MP=|\vec{MP}|=\frac{1}{2}|\vec{AD}+\vec{BC}|$.

$=\frac{1}{2}|\vec{AD}+\vec{BC}|=\frac{1}{2}\sqrt{(AD+BC)^2-2AD.BC(1-\cos(AD,BC))}$

Ta có $0\le \cos(AD,BC)< 1;AD.BC\le\frac{(AD+BC)^2}{4}$

Vậy $MP\ge \frac{1}{2}\sqrt{2014^2-2.\frac{2014^2}{4}}=\frac{1007\sqrt2}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $AD;BC$ vuông góc với nhau.

Em cảm ơn, lúc đầu đọc chẳng hiểu gì tại mới lên lớp 10 

Edited by pcfamily, 14-09-2013 - 20:02.