Cho $a,b,c$ là các số dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$
Cho $a,b,c$ là các số dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$
Cho $a,b,c$ là các số dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$
Áp dụng AM-GM ta chỉ cần chứng minh
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(b+ac)(a+bc)}\geqslant 1$
Ta có $(a+bc)(b+ac)\leqslant \frac{(a+bc+b+ac)^2}{4}=\frac{(c+1)^2(a+b)^2}{4}$
Tương tự ta cũng có $(b+ac)(c+ab)\leqslant \frac{(a+1)^2(b+c)^2}{4}$
$(c+ab)(a+ac)\leqslant \frac{(b+1)^2(a+c)^2}{4}$
Nhân $3$ bất đẳng thức trên lại rồi khai căn ta được
$(a+bc)(b+ca)(c+ab)\leqslant \frac{(a+1)(b+1)(c+1)(a+b)(b+c)(c+a)}{8}$
$\Rightarrow \frac{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{8}\leqslant \frac{(a+1+b+1+c+1)^3}{27.8}=1$
$\Rightarrow \frac{(a+b)(b+a)(c+a)}{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}\geqslant 1$
Vậy $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geqslant 3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
0 members, 1 guests, 0 anonymous users