Chủ đề này có 3 trả lời

[SOYA264]

1/ Cho $a,b,c,$ là các số không âm thỏa điều kiện $a+b+c=\frac{3}{2}$.  Chứng mình rằng:

 

$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq \frac{125}{64}$

 

2/ Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa điều kiện : $x^2+y^2+z^2\leq 3y$ . Tìm min của biểu thức:

 

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$

[Hoang Tung 126]

Ta có :3y+6 $\geq$$\left ( (x^2+1)+(y^2+4)+(z^2+1) \right )$$\geq 2x+4y+2z$ nên $x+\frac{y}{2}+z \leq 3$.Áp dụng bdt $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$ .Ta có =$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+8)^2}\geq \frac{64}{(3+5)^2}= 1$. Dấu = xảy ra khi $x= \frac{y}{2}= z$ hay x=z=1 và y=2

[Hoang Tung 126]

Câu 1: Đặt vế trái là P.Ta có =$a^{2}b^{2}c^{2}+1+a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=(\frac{3}{2}-abc)^2++(1-\left ( ab+bc+ac \right ))^2+(a+b+c)^2-\frac{5}{4}.$. Mà $abc\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^3}{27}=\frac{1}{8}$ nên $\left ( \frac{3}{2}-abc \right )^2 \geq (\frac{3}{2}-\frac{1}{8})^2=\frac{121}{64}$.Tương tự thì $\left ( 1-\left ( ab+bc+ac \right ) \right )^2\geq \frac{1}{16}$ .Cộng theo vế các bdt cùng chiều thì P $\geq \frac{125}{64}$.Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{2}$

[vutuanhien]

2/ Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa điều kiện : $x^2+y^2+z^2\leq 3y$ . Tìm min của biểu thức:

 

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$

Xem tại đây:http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/99502-t%E1%BB%95ng-h%E1%BB%A3p-c%C3%A1c-b%C3%A0i-b%C4%91t-gtln-gtnn-thi-th%E1%BB%AD-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/page-2#entry428729