cho $2(x^2+y^2)=xy+1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\cfrac{x^4+y^4}{2xy+1}$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\cfrac{x^4+y^4}{2xy+1}$
#1
Đã gửi 13-09-2013 - 18:16
#2
Đã gửi 13-09-2013 - 20:36
Bạn ơi thử cách này xem sao!
$\frac{X^{4}+Y^{4}}{2XY+1}$=$\frac{(X^{2}+Y^{2})^{2}-2X^{2}Y^{2}}{2XY+1}$=$\frac{\frac{(XY+1)^{2}}{4}-2X^{2}Y^{2}}{8XY+4}$
=$\frac{-7X^{2}Y^{2}+2XY+1}{8XY+4}$
Từ điều kiện $\Rightarrow xy+1=2(x^{2}+y^{2})\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{1}{3}$
rồi khảo sát hàm thử xem!
#3
Đã gửi 15-09-2013 - 11:03
Bạn ơi thử cách này xem sao!
$\frac{X^{4}+Y^{4}}{2XY+1}$=$\frac{(X^{2}+Y^{2})^{2}-2X^{2}Y^{2}}{2XY+1}$=$\frac{\frac{(XY+1)^{2}}{4}-2X^{2}Y^{2}}{8XY+4}$
=$\frac{-7X^{2}Y^{2}+2XY+1}{8XY+4}$
Từ điều kiện $\Rightarrow xy+1=2(x^{2}+y^{2})\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{1}{3}$
rồi khảo sát hàm thử xem!
Mình rất tiếc miền của $t=xy$ bạn chặn được chưa đủ hẹp rồi.
Bởi khi đó lim trái, phải của $f(t)$ sẽ là vô cực, nghĩ là sẽ không tồn tại GTNN, GTLN.
Từ giả thiết, ta có $t=xy\in [-\frac{1}{5};\frac{1}{3}]$
Khảo sát $f(t)$ trên đoạn này, ta yên tâm vì nói không chưa $-\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lugiahooh: 15-09-2013 - 11:04
Gió
#4
Đã gửi 15-09-2013 - 11:10
bạn ơi làm thế nào để tìm được đoạn đó? có tài liệu nào trên diễn đàn nói về điều này không?
#5
Đã gửi 15-09-2013 - 19:51
bạn ơi làm thế nào để tìm được đoạn đó? có tài liệu nào trên diễn đàn nói về điều này không?
Nếu mình đoán không nhầm thì bạn dùng Cosi để tìm ta $xy \leq \frac{1}{3}$ , thực chất khi đó bạn đã sử dụng BĐT $(x-y)^2 \geq 0$ (bạn sẽ hiểu điều mình nói trên đây rõ ràng hơn khi trừ 2 vế của gt bài toán cho 2xy).
Nhưng đó chưa phải là tất cả, $(x+y)^2 \geq 0$ thì sao, thử suy nghĩ xem bạn nhé.
^^! Bạn tự nghiệm ra sẽ tốt hơn là chỉ rõ ra nhỉ, còn về phần tài liệu, mình không biết rõ lắm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lugiahooh: 15-09-2013 - 19:54
- thienminhdv yêu thích
Gió
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh