Cho $(x+y)^3+4xy\geqslant 2$. Tìm min của $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$
Tìm min của $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$
Bắt đầu bởi thienminhdv, 13-09-2013 - 18:41
#1
Đã gửi 13-09-2013 - 18:41
thienminhdv
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 13-09-2013 - 19:02
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Cho $(x+y)^3+4xy\geqslant 2$. Tìm min của $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$
$A = 3(x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2}) - 2(x^{2} + y^{2}) +1 = \frac{3}{2}(x^{4} + y^{4} + 2x^{2}y^{2}) + \frac{3}{2}(x^{4} + y^{4}) - 2(x^{2} + y^{2}) +1 \geq \frac{3}{2}(x^{2} + y^{2})^{2} + \frac{3}{4}(x^{2} + y^{2})^{2} - 2(x^{2} + y^{2}) +1$
( Do $x^{4}+y^{4}\geq \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})$ )
$\Leftrightarrow A \geq \frac{9}{4}(x^{2} + y^{2})^{2} - 2(x^{2} + y^{2}) +1$
Ta có :
$(x+y)^{2}\geq 4xy\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq (x+y)^{3}+4xy\geq 2\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2\Rightarrow x+y\geq 1$
Ta có :
$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow A\geq \frac{9}{4}(x^{2} + y^{2})^{2} - 2(x^{2} + y^{2}) +1=[\frac{3}{2}(x^{2}+y^{2})-\frac{2}{3}]^{2}+\frac{5}{9}\geq \frac{9}{16}$
Vậy :
$MinA=\frac{9}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 13-09-2013 - 20:06
- Lugiahooh, ILMBVMF, 4869mnsk và 1 người khác yêu thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
