Chủ đề này có 2 trả lời

[JokerDinoTienTien]

A$= 1 + \frac{cosa}{cosa} + \frac{cos2a}{cos^{2}a}+\frac{cos3a}{cos^{3}a} + ... + \frac{coska}{cos^{k}a}$
B$= \frac{1}{sina} + \frac{1}{sin2a} + \frac{1}{sin2^{2}a} + \frac{1}{sin2^{3}a} + ... + \frac{1}{sin2^{n}a}$

  ( bằng phương pháp sai phân )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JokerDinoTienTien: 13-09-2013 - 21:59

[hxthanh]

A$= 1 + \frac{cosa}{cosa} + \frac{cos2a}{cos^{2}a}+\frac{cos3a}{cos^{3}a} + ... + \frac{coska}{cos^{k}a}$
B$= \frac{1}{sina} + \frac{1}{sin2a} + \frac{1}{sin2^{2}a} + \frac{1}{sin2^{3}a} + ... + \frac{1}{sin2^{n}a}$

  ( bằng phương pháp sai phân )

 

$B=\sum_{k=0}^n \frac{1}{\sin(2^ka)}=\sum_{k=0}^n \frac{1}{2\sin(2^{k-1}a)\cos(2^{k-1}a)}$

$\quad =\sum_{k=0}^n \frac{2\cos^2(2^{k-1}a)-\big(2\cos^2(2^{k-1}a)-1\big)}{2\sin(2^{k-1}a)\cos(2^{k-1}a)}$

$\quad =\sum_{k=0}^n \left[\frac{2\cos^2(2^{k-1}a)}{2\sin(2^{k-1}a)\cos(2^{k-1}a)}-\frac{\cos(2^{k}a)}{\sin(2^{k}a)}\right]$

$\quad =\sum_{k=0}^n \left[\cot(2^{k-1}a)-\cot(2^ka)\right]$

$\quad =\cot\frac{a}{2}-\cot(2^na)$

 

Đối với tổng $A$ thì cần phải chia ra 2 trường hợp chẵn, lẻ của $k$

Nếu để nguyên vậy ta có thể gộp kết quả là:

 

 

$A=\sum_{j=0}^k \frac{\cos(j a)}{\cos^ja}=\frac{1+(-1)^k}{2\cos^ka}+\frac{2\sin\left(\left\lfloor\frac{k+1}{2}\right\rfloor a\right)\cos\left(\left\lfloor\frac{k+2}{2}\right\rfloor a\right)}{\sin a\cos^k a}\qquad\qquad (\frac{2a}{\pi}\not\in \mathbb Z)$

[MrJokerWTF]

$B=\sum_{k=0}^n \frac{1}{\sin(2^ka)}=\sum_{k=0}^n \frac{1}{2\sin(2^{k-1}a)\cos(2^{k-1}a)}$
$\quad =\sum_{k=0}^n \frac{2\cos^2(2^{k-1}a)-\big(2\cos^2(2^{k-1}a)-1\big)}{2\sin(2^{k-1}a)\cos(2^{k-1}a)}$
$\quad =\sum_{k=0}^n \left[\frac{2\cos^2(2^{k-1}a)}{2\sin(2^{k-1}a)\cos(2^{k-1}a)}-\frac{\cos(2^{k}a)}{\sin(2^{k}a)}\right]$
$\quad =\sum_{k=0}^n \left[\cot(2^{k-1}a)-\cot(2^ka)\right]$
$\quad =\cot\frac{a}{2}-\cot(2^na)$
 
Đối với tổng $A$ thì cần phải chia ra 2 trường hợp chẵn, lẻ của $k$
Nếu để nguyên vậy ta có thể gộp kết quả là:
 
 
$A=\sum_{j=0}^k \frac{\cos(j a)}{\cos^ja}=\frac{1+(-1)^k}{2\cos^ka}+\frac{2\sin\left(\left\lfloor\frac{k+1}{2}\right\rfloor a\right)\cos\left(\left\lfloor\frac{k+2}{2}\right\rfloor a\right)}{\sin a\cos^k a}\qquad\qquad (\frac{2a}{\pi}\not\in \mathbb Z)$

banp có thể nói rõ hơn câu A ko ?