$\lim_{n \to +\infty }x_{n}$, $n\geq 1$
với $x_{1}=\sqrt{2}$ và $x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$
$\lim_{n \to +\infty }x_{n}$, $n\geq 1$
với $x_{1}=\sqrt{2}$ và $x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$
$\lim_{n \to +\infty }x_{n}$, $n\geq 1$
với $x_{1}=\sqrt{2}$ và $x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$
Bây giờ ta cần chứng dãy hội tụ và có giớ hạn:
Ta c/m $1<x_{n}<2$ bằng quy nạp.
Ta thấy $1<x_{1}=\sqrt{2}<2$ đúng
Giả sử $1<x_{k}<2$ ta cần chứng minh $1<x_{k+1}<2$
Thật vậy $x_{k+1}=\sqrt{x_{k}+2}\to 1<x_{k+1}<2$
Vậy $1<x_{n}<2$ được chứng minh.
Ta lại thấy $x_{n+1}-x_{n}=\frac{(2-x_n)(1+x_n)}{\sqrt{2+x_n}+x_n}>0\to x_n$ tăng, và bị chặn trên bởi $x_n<2$
Vậy $(x_n)$ hội tụ và có giớ hạn, giả sử $\lim_{n\to \infty}=x_n=a\to a=\sqrt{a+2}\to a=2$
Vậy $\lim x_n=2$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
Tổng quát $(u_{n})$ với $a>0, u_{1}=\sqrt{a},u_{n}=\sqrt{a+u_{n-1}}$ ta có giới hạn bằng $\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$
Tào Tháo
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh