Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Tung 1998]

Cho $a,b,c> 0.$. CMR:$\frac{1}{a^{2}+bc+ac}+\frac{1}{b^{2}+ca+ab}+\frac{1}{c^{2}+ab+bc}\leq \frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ac)^2}$

 

MOD : Học đặt tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 14-09-2013 - 20:59

[Hoang Tung 126]

Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:$\sum \frac{1}{a^{2}+bc+ac}= \sum \frac{b^{2}+bc+ac}{(a^2+bc+ac).(b^2+bc+ac)}\leq \sum \frac{b^2+bc+ac}{(ab+bc+ca)^2}= \frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ac)^2}$

[tim1nuathatlac]

Cho $a,b,c> 0.$. CMR:$\frac{1}{a^{2}+bc+ac}+\frac{1}{b^{2}+ca+ab}+\frac{1}{c^{2}+ab+bc}\leq \frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ac)^2}$

 

MOD : Học đặt tiêu đề

 

Sử dụng  $Cauchy-schwarz$ trực tiếp cho $VT$ ta có ngay được lời giải.

 

$\left ( a^{2}+bc+ca \right )\geq \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{b^{2}+bc+ca}$

 

Tương tự:

$\left ( b^{2}+ca+ab \right )\geq \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{c^{2}+ca+ab}$

 

$\left ( c^{2}+ab+bc \right )\geq \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{a^{2}+ab+bc}$

 

$\Rightarrow VT\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}\square$