1 reply to this topic

[Alexman113]

Viết phương trình tiếp tuyến với $(C):y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}+2$ biết khoảng cách từ $A(0;\,3)$ đến tiếp tuyến là $\dfrac{9}{4\sqrt{5}}$

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Vì đường thẳng $x = m$ không phải là tiếp tuyến của (C) nên:

Đường thẳng cần tìm có dạng là d: $y = kx + m$.

Gọi A$(x_o; y_o)$ là tọa độ tiếp điểm. Khi đó, (d) là tiếp tuyến của (C) khi:
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x_o^4}{4} + \dfrac{x_o^2}{2} + 2 = kx_o + m\\x_o^3 + x_o = k\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m = - \dfrac{3}{4}x_o^4 - \dfrac{1}{2}x_o^2 + 2 \\ k = x_o^3 + x_o\end{matrix}\right. $

                                                                     

Theo giả thiết: $d_{(A; d)} = \dfrac{9}{4\sqrt{5}} \Leftrightarrow \dfrac{|m - 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \dfrac{9}{4\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left | - \dfrac{3}{4}x_o^4 - \dfrac{1}{2}x_o^2 + 2\right |}{\sqrt{x_o^2(x_o^2 + 1)^2 + 1}} = \dfrac{9}{4\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{3x_o^4 + 2x_o^2 + 4}{\sqrt{x_o^2(x_o^2 + 1)^2 + 1}} = \dfrac{9}{\sqrt{5}}$

 

Đặt $x_o^2 = t \geq 0$, quy đồng và bình phương hai vế, ta có:

$5(3t^2 + 2t + 4)^2 = 1 + 81t(t + 1)^2$
 

$\Leftrightarrow 45t^4 - 21t^3 - 22t^2 - t - 1 = 0$

 

$\Leftrightarrow (t - 1)(45t^3 + 24t^2 + 2t + 1) \Leftrightarrow t = 1$
 

$\Rightarrow x = \pm 1 \Rightarrow \left[\begin{matrix}(d): y = 2x + \dfrac{3}{4}\\(d): y = - 2x + \dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.$