Cho A ở ngoài (O), AB, AC là 2 tiếp tuyến, CD là đường kính; AD cắt (O) tại M, OA cắt BC tại H, BM cắt OA tại N. CMR: N là trung điểm của AH.
Chứng minh N là trung điểm của AH.
Bắt đầu bởi mathprovn, 15-09-2013 - 16:53
#2
Đã gửi 17-09-2013 - 20:49
nghiemthanhbach
-
- Thành viên
-
- 1056 Bài viết
$\sqrt{MF}'s\;friend$
Cho A ở ngoài (O), AB, AC là 2 tiếp tuyến, CD là đường kính; AD cắt (O) tại M, OA cắt BC tại H, BM cắt OA tại N. CMR: N là trung điểm của AH.
sao các bạn toàn post sai đề vậy? Vẽ hình rồi nhìn lại đi 
#4
Đã gửi 22-09-2013 - 19:59
VodichIMO
-
- Thành viên
-
- 66 Bài viết
Hạ sĩ
Cho A ở ngoài (O), AB, AC là 2 tiếp tuyến, CD là đường kính; AD cắt (O) tại M, OA cắt BC tại H, BM cắt OA tại N. CMR: N là trung điểm của AH.
Ta có: $AB^2=AM.AD$; $AB^2=AH.AO$
$\Rightarrow$ $AM.AD=AH.AO$ $\Rightarrow$ Tứ giác $MDOH$ nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{MDO}=\widehat{MHA}$
mà $\widehat{MDO}=\widehat{MCA}$ ( cùng chắn cung $MC$)
$\Rightarrow$ $\widehat{MHA}=\widehat{MCA}$ $\Rightarrow$ Tứ giác $AMHC$ nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{MCH}=\widehat{HAM}$.
Mà $\widehat{MCH}=\widehat{ABM}$ (cùng chắn cung $BM$)
$\Rightarrow$ $\widehat{MAN}=\widehat{ABN}$ $\Rightarrow$ $\Delta{ABN}$ đồng dạng $\Delta{MAN}$ $\Rightarrow$ $AN^2=MN.BN$ $(1)$
Mặt khác: Tứ giác $BDCM$ nội tiếp $\Rightarrow$ $\widehat{MBC}=\widehat{MDC}$
$\Rightarrow$ $\widehat{MBC}=\widehat{MHN}$ $\Rightarrow$ $\Delta{BHN}$ đồng dạng $\Delta{MHN}$ $\Rightarrow$ $HN^2=MN.NB$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm.
BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
