Chủ đề này có 4 trả lời

[Juliel]

Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ là trung điểm hai cạnh $AB,AC$ và có các cạnh thỏa mãn hệ thức $2a=b+c$ $(a=BC,b=CA,c=AB)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng tứ giác $AMIN$ là tứ giác nội tiếp. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-09-2013 - 22:22

[LNH]

Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ là trung điểm hai cạnh $AB,AC$ và có các cạnh thỏa mãn hệ thức $2a=b+c$ $(a=BC,b=CA,c=AB)$. Gọi $I,G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm tam giác. Chứng minh rằng tứ giác $AMIN$ là tứ giác nội tiếp. 

Một cách trâu bò nhưng hiệu quả

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Ta sẽ CM: $AI \perp IO$

$\Leftrightarrow AI^2+IO^2=AO^2$

$\Leftrightarrow AI^2=2Rr$

Bây giờ xem tôi chơi chiêu đây

Đặt $x=p-a$, $y=p-b$, $z=p-c$

Ta có:$AI = \frac{{IM}}{{sin\frac{A}{2}}} = \frac{{r\sqrt {bc} }}{{\sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }} = \frac{{\sqrt {\frac{{xyz}}{{x + y + z}}\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }}{{\sqrt {yz} }} = \sqrt {\frac{{x\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{x + y + z}}}$

$AI^2=\frac{x\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}{x+y+z}$

$2Rr=\frac{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}{2\left ( x+y+z \right )}$

Ta cần CM:

$2x=y+z$ (hiển nhiên)

[Juliel]

Một cách trâu bò nhưng hiệu quả

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Ta sẽ CM: $AI \perp IO$

$\Leftrightarrow AI^2+IO^2=AO^2$

$\Leftrightarrow AI^2=2Rr$

Bây giờ xem tôi chơi chiêu đây

Đặt $x=p-a$, $y=p-b$, $z=p-c$

Ta có:$AI = \frac{{IM}}{{sin\frac{A}{2}}} = \frac{{r\sqrt {bc} }}{{\sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }} = \frac{{\sqrt {\frac{{xyz}}{{x + y + z}}\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }}{{\sqrt {yz} }} = \sqrt {\frac{{x\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{x + y + z}}}$

$AI^2=\frac{x\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}{x+y+z}$

$2Rr=\frac{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}{2\left ( x+y+z \right )}$

Ta cần CM:

$2x=y+z$ (hiển nhiên)

Cách này vẫn chưa trâu bằng cách của em, em dùng định lí Ptolemy đảo cơ  , nhưng mà có một cách khác hay hơn và ngắn gọn hơn nhiều, sáng nay thằng bạn mới chỉ 

[LNH]

Cách này vẫn chưa trâu bằng cách của em, em dùng định lí Ptolemy đảo cơ  , nhưng mà có một cách khác hay hơn và ngắn gọn hơn nhiều, sáng nay thằng bạn mới chỉ 

Theo tôi nghĩ thì cách đơn giản và ngắn gọn nhất có lẽ là CM $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IO}=0$

[nhuanmaths]

Cách này tuy không hay nhưng ngắn gọn:

Gọi E,F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp $\bigtriangleup ABC$ với $AB,AC$.Giả sử $AB< AC$

Do $AF=AE=p-a$ và b+c=2a nên dễ dàng chứng minh $MF=ME$.Suy ra $\Delta FMI=\Delta ENI(c-g-c)$

$\Rightarrow \angle MIN=FIE=180-A$.Suy ra dpcm