Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{xy^2}{\left(x^2+3y^2\right)\left(x+\sqrt{x^2+12y^2}\right)}$$

 

[SOYA264]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{xy^2}{\left(x^2+3y^2\right)\left(x+\sqrt{x^2+12y^2}\right)}$$

 

ĐK: $x,y\neq 0$.  Chia tử và mẫu của P cho $y^3$ . Đặt $\frac{x}{y}=t\neq 0$ ta được:

 

$P=\frac{t}{12(t^3+3)(\sqrt{t^2+12}+t)}$

 

  $P=\frac{12.t(\sqrt{t^2+12}-1)}{t^2+3}$

 

Xét hàm $f(t)=\frac{t(\sqrt{t^2+12}-1)}{t^2+3}$ 

 

$f'(t)=\frac{6(6-t^2-t\sqrt{t^2+12})}{(x^2+3)^2}$

 

Ta có:  $f'(t)=0\Leftrightarrow 6-t^2-t\sqrt{t^2+12}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{\frac{3}{2}}$

 

Tính tiếp đạo hàm bậc 2, thay vào ta có: $f''(\sqrt{\frac{3}{2}})< 0$ nên $x=\frac{3}{2}$ là điểm cực đại của hàm số.

 

$\lim_{-\infty }\frac{t(\sqrt{t^2+12}-t)}{t^2+3}=-2$

 

$\lim_{+\infty }\frac{t(\sqrt{t^2+12}-t)}{t^2+3}=0$

 

$maxP=\frac{1}{18}$ khi $\sqrt{2}x=\sqrt{3}y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 19-09-2013 - 12:59