Chủ đề này có 2 trả lời

[ducthinh26032011]

Bài toán 1:Cho $a,b,c>0$ thỏa  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.C/m:

$$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

 

Bài toán 2:Cho $a,b,c>0$ thỏa  $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$.C/m:

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{1-a^{2}}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{1-b^{2}}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{1-c^{2}}}>2$$

 

Bài toán 3:Cho $a,b,c\in (0;1)$ thỏa  $ab+bc+ca=1$.C/m:

$$\frac{a}{1-a^{2}}+\frac{b}{1-b^{2}}+\frac{c}{1-c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 19-09-2013 - 22:29

[25 minutes]

Bài toán 1:Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.C/m:

$$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Bài 1:BĐT $\Leftrightarrow \frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức sau : $\frac{a}{1-a^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được

            $\sum \frac{a}{1-a^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài 3: Đơn giản hơn vì ta có được

           $\sum \frac{a}{1-a^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}(ab+bc+ca}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 19-09-2013 - 22:33

[25 minutes]

Bài toán 2:Cho $a,b,c>0$ thỏa  $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$.C/m:

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{1-a^{2}}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{1-b^{2}}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{1-c^{2}}}>2$$

Ta có $\frac{a^2}{\sqrt{1-a^2}}=\frac{a^3}{a\sqrt{1-a^2}}$

Áp dụng AM-GM ta có $a\sqrt{1-a^2}\leqslant \frac{a^2+1-a^2}{2}=\frac{1}{2}$

          $\Rightarrow \frac{a^3}{a\sqrt{1-a^2}}\geqslant 2a^3$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được

         $\Rightarrow \sum \frac{a^3}{a\sqrt{1-a^2}}\geqslant \sum 2a^3=2$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức không xảy ra