Chủ đề này có 7 trả lời

[Juliel]

Bài 1 : (5 điểm) Cho cấp số cộng dương $a_{1},a_{2},...$ và cấp số nhân dương $b_{1},b_{2},...$. Gỉa sử $a_{1}=b_{1},a_{2014}=b_{2014}$. So sánh $a_k$ và $b_k$ với $k\in \mathbb{N}^{*}$

 

Bài 2 : (5 điểm) 

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì $p^{3}+\frac{p-1}{2}$ không phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

b) Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $ab$ là số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^{a}+x^{b}+1$ không chia hết cho đa thức $x^2+x+1$.

 

Bài 3 : (5 điểm) Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $D$ di động trên đoạn thẳng $BC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $D$ của tam giác $ABD$ và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $D$ của tam giác $ACD$. Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ và $AJC$ lần lượt là $O_1$ và $O_2$

a) Chứng minh rằng đường tròn đường kính $O_1O_2$ đi qua $D$.

b) Gọi $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ẠJI$ và $E$ là giao điểm khác $A$ của $(O_1)$ và $(O_2)$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $EF$ cắt $EI,EJ$ lần lượt tại $P,Q$. 

Chứng minh $\frac{AI^{2}}{AJ^{2}}=\frac{IP}{JQ}$

 

Bài 4 : (5 điểm)

a) Tồn tại hay không các số thực $a_{ij}\in \left [ 0;1 \right ]$$\forall i=\overline{1,2013},j=\overline{1,2014}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{\sqrt[2014]{mn}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}a_{ij}=1\;\forall m=\overline{1,2013},n=\overline{1,2014}$ ?

b) Trên bàn cờ vua có một số quân cờ. Biết rằng nếu một ô nào đó còn trống thì tổng số lượng những quân cờ đứng cùng hàng và cùng cột với ô đó không nhỏ hơn $8$. Chứng minh rằng trên bàn cờ đó có ít nhất $32$ quân cờ.

 

Đề do thầy Trần Quốc Luật ra. 

Thắc mắc : Bài 2b với $x=1$ thì bài toán sai,liệu có điều kiện $x$ nguyên ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 21-09-2013 - 11:36

[Zaraki]

Bài 2 : (5 điểm) 

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì $p^{3}+\frac{p-1}{2}$ không phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Lời giải. Giả tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $p^3+ \frac{p-1}{2}$ là tích hai số tự nhiên liên tiếp. Đặt $p^3+ \frac{p-1}{2}=a(a+1)$ với $a \in \mathbb{N}$ thì $2p^3+p-1=2a(a+1) \Leftrightarrow 2(2p^3+p+1)=(2a+1)^2+3$.

Hiển nhiên với $p=3$ thì không thoả mãn. Khi đó $p>3$ thì $p \equiv 1,2 \pmod{3}$.

Nếu $p \equiv 1 \pmod{3}$ thì $2(2p^3+p+1) \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow (2a+1)^2 \equiv 2 \pmod{3}$, mâu thuẫn.

Nếu $p \equiv 2 \pmod{3}$ thì $2(2p^3+p+1) \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow (2a+1)^2 \equiv 2 \pmod{3}$, mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $p^3+ \frac{p-1}{2}$ là tích hai số tự nhiên tiếp tiếp.

[Juliel]

Bài 2 : (5 điểm) 

 

b) Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $ab$ là số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^{a}+x^{b}+1$ không chia hết cho đa thức $x^2+x+1$.

Bài này xin phép thầy Luật cho thêm điều kiện là $x>1$. Nếu không có điều kiện này thì chờ người giải lại bài 

Lời giải :

Ta xét đa thức $P=x^{a}+x^{b}+1$. Đặt $a=3k+r,b=3t+w\qquad(k,t\in \mathbb{N},r,w=\overline{0,2})$. Không mất tính tổng quát ta giả sử $w\leq r$

Ta có $P=x^{3k+r}+x^{3t+w}+1=x^{r}(x^{3k}-1)+x^{w}(x^{3t}-1)+x^{r}+x^{w}+1$

Ta luôn có $x^{3}-1|x^{3k}-1,x^{2}+x+1|x^{3}-1\Rightarrow x^{2}+x+1|x^{3k}-1$. Tương tự thì $x^{2}+x+1|x^{3t}-1$.

Gỉa sử $x^{2}+x+1|P$ thì $x^{2}+x+1|x^{r}+x^{w}+1$. Đặt $A=x^r+x^w+1$

• Nếu $r=w=2$ thì $A=2x^{2}+1\equiv -2x-1(mod\; x^{2}+x+1)$. Để $x^{2}+x+1|A\Rightarrow x^{2}+x+1|2x+1$

Điều này là vô lí vì $2x+1<x^2+x+1$ với $x>1$.

• Nếu $r=2,w=1$ thì $A=x^{2}+x+1|x^{2}+x+1$
• Nếu $r=2,w=0$ thì $A=x^{2}+2\equiv 1-x(mod\; x^{2}+x+1)$. Để $x^{2}+x+1|A$ thì $x^{2}+x+1|1-x$.

Điều này là vô lí vì $1-x<x^2+x+1$.

• Nếu $r=w=1$ thì $A=2x+1<x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid A\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid P$
• Nếu $r=1,w=0$ thì $A=x+2<x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid A\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid P$
• Nếu $r=w=0$ thì $A=3<x^2+x+1$ với $x>1$. Do đó $x^{2}+x+1\nmid A\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid P$

Từ đó suy ra $a\equiv 2(mod\; 3),b\equiv 1(mod\; 3)\Rightarrow ab\equiv 2(mod\; 3)$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ab$ là số chính phương.

Kết luận : Gỉa thiết phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh.

 

@ Bài này nhìn câu tổ hợp là biết bỏ rồi !   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 21-09-2013 - 21:51

[LNH]

Bài 4 : (5 điểm)

b) Trên bàn cờ vua có một số quân cờ. Biết rằng nếu một ô nào đó còn trống thì tổng số lượng những quân cờ đứng cùng hàng và cùng cột với ô đó không nhỏ hơn $8$. Chứng minh rằng trên bàn cờ đó có ít nhất $32$ quân cờ.

Chém bài "dễ thương" nhất cái đã

Gọi $k$ là số các ô còn trống.

Giả sử $k \geq 33$

Ta cần CM trong một hàng (hoặc cột) không tồn tại 6 ô vuông trống

Giả sử tồn tại 6 ô vuông trống trên một hàng.

Khi đó trên mỗi cột có ít nhất 6 ô có quân cờ, suy ra $k \leq 28$, vô lí

Vậy trong một hàng (hoặc cột) có nhiều nhất 5 ô vuông trống

Vì $k \geq 33$ nên theo nguyên tắc Dirichlet tồn tại một hàng có 5 ô vuông trống.

Tương tự, tồn tại một cột có 5 ô vuông trống.

Hàng đó và cột đó giao nhau tại một ô, ô đó phải là ô có cờ

Gọi các hàng chứa 5 ô ở cột đó là $r_1,r_2,...,r_5$

Gọi các cột chứa 5 ô ở hàng đó là $c_1,c_2,...,c_5$

Dễ thấy có ít nhất $30$ ô chứa quân cờ

Gọi ô được giao bởi cột $i$ và hàng $j$ là $a_{ij}$ và ta biểu diễn $a_{ij}=1$ nếu ô $a_{ij}$ chứa quân cờ, ngược lại $a_{ij}=0$

Nhận xét: có nhiều nhất một $a_{ij}=0$ (nếu có 2 $a_{ij}=0$ thì $k \leq 32$, mâu thuẫn)

Vậy có ít nhất một cột trong $8$ cột không chứa bất kì quân cờ nào trong $30$ quân cờ trên.

Vì số ô chưa đặt quân cờ này không vượt quá $5$ nên ta có ít nhất 3 ô có quân cờ.

Suy ra có ít nhất $33$ ô vuông có quân cờ, mâu thuẫn

Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 21-09-2013 - 20:08

[xuankhoa]

Bài này xin phép thầy Luật cho thêm điều kiện là $x\in \mathbb{Z},x>1$. Nếu không có điều kiện này thì chờ người giải lại bài 

Lời giải :

Ta xét đa thức $P=x^{a}+x^{b}+1$. Đặt $a=3k+r,b=3t+w\qquad(k,t\in \mathbb{N},r,w=\overline{0,2})$. Không mất tính tổng quát ta giả sử $w\leq r$

Ta có $P=x^{3k+r}+x^{3t+w}+1=x^{r}(x^{3k}-1)+x^{w}(x^{3t}-1)+x^{r}+x^{w}+1$

Ta luôn có $x^{3}-1|x^{3k}-1,x^{2}+x+1|x^{3}-1\Rightarrow x^{2}+x+1|x^{3k}-1$. Tương tự thì $x^{2}+x+1|x^{3t}-1$.

Gỉa sử $x^{2}+x+1|P$ thì $x^{2}+x+1|x^{r}+x^{w}+1$. Đặt $A=x^r+x^w+1$

• Nếu $r=w=2$ thì $A=2x^{2}+1\equiv -2x-1(mod\; x^{2}+x+1)$. Để $x^{2}+x+1|A\Rightarrow x^{2}+x+1|2x+1$

Điều này là vô lí vì $2x+1<x^2+x+1$ với $x>1$.

• Nếu $r=2,w=1$ thì $A=x^{2}+x+1|x^{2}+x+1$
• Nếu $r=2,w=0$ thì $A=x^{2}+2\equiv 1-x(mod\; x^{2}+x+1)$. Để $x^{2}+x+1|A$ thì $x^{2}+x+1|1-x$.

Điều này là vô lí vì $1-x<x^2+x+1$.

• Nếu $r=w=1$ thì $A=2x+1<x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid A\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid P$
• Nếu $r=1,w=0$ thì $A=x+2<x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid A\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid P$
• Nếu $r=w=0$ thì $A=3<x^2+x+1$ với $x>1$. Do đó $x^{2}+x+1\nmid A\Rightarrow x^{2}+x+1\nmid P$

Từ đó suy ra $a\equiv 2(mod\; 3),b\equiv 1(mod\; 3)\Rightarrow ab\equiv 2(mod\; 3)$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ab$ là số chính phương.

Kết luận : Gỉa thiết phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh.

 

@ Bài này nhìn câu tổ hợp là biết bỏ rồi !   

 Lời giải của bạn thì đúng rồi, nhưng bạn nên xem lại khái niệm đa thức chia cho đa thức và đừng nói thầy Luật ra sai đề.

[Juliel]

 Lời giải của bạn thì đúng rồi, nhưng bạn nên xem lại khái niệm đa thức chia cho đa thức và đừng nói thầy Luật ra sai đề.

Cảm ơn bạn, bỏ điều kiện $x$ nguyên thì cũng không ảnh hưởng gì mấy, chỉ cần $x>1$ 

[tranquocluat_ht]

Cảm ơn bạn, bỏ điều kiện $x$ nguyên thì cũng không ảnh hưởng gì mấy, chỉ cần $x>1$ 

Em xem đây http://diendantoanho...-đa-thức-phần-i

[dkhanhht98]

Chém bài "dễ thương" nhất cái đã

Gọi $k$ là số các ô còn trống.

Giả sử $k \geq 33$

Ta cần CM trong một hàng (hoặc cột) không tồn tại 6 ô vuông trống

Giả sử tồn tại 6 ô vuông trống trên một hàng.

Khi đó trên mỗi cột có ít nhất 6 ô có quân cờ, suy ra $k \leq 28$, vô lí

Vậy trong một hàng (hoặc cột) có nhiều nhất 5 ô vuông trống

Vì $k \geq 33$ nên theo nguyên tắc Dirichlet tồn tại một hàng có 5 ô vuông trống.

Tương tự, tồn tại một cột có 5 ô vuông trống.

Hàng đó và cột đó giao nhau tại một ô, ô đó phải là ô có cờ

Gọi các hàng chứa 5 ô ở cột đó là $r_1,r_2,...,r_5$

Gọi các cột chứa 5 ô ở hàng đó là $c_1,c_2,...,c_5$

Dễ thấy có ít nhất $30$ ô chứa quân cờ

Gọi ô được giao bởi cột $i$ và hàng $j$ là $a_{ij}$ và ta biểu diễn $a_{ij}=1$ nếu ô $a_{ij}$ chứa quân cờ, ngược lại $a_{ij}=0$

Nhận xét: có nhiều nhất một $a_{ij}=0$ (nếu có 2 $a_{ij}=0$ thì $k \leq 32$, mâu thuẫn)

Vậy có ít nhất một cột trong $8$ cột không chứa bất kì quân cờ nào trong $30$ quân cờ trên.

Vì số ô chưa đặt quân cờ này không vượt quá $5$ nên ta có ít nhất 3 ô có quân cờ.

Suy ra có ít nhất $33$ ô vuông có quân cờ, mâu thuẫn

Suy ra đpcm

Nhờ bạn nói rõ chỗ này!