Cho hàm số $y=x^4-2x^2-1(C)$ Tìm nhứng điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị (C
Vì đây là hàm bậc 4, tiếp tuyến tại các điểm phân biệt thì chưa chắc đã phân biệt nên mình đang băn khoăn 2 cách giải sau, các bạn xem hộ mình:
Cách 1:
Đồ thị hàm bậc 4 nhận Oy làm trục đối xứng(hàm chẵn) nên số tiếp tuyến có hệ số góc k khác 0 kẻ từ một điểm trên Oy luôn là số chẵn. Đề bài cho số tiếp tuyến là 3 nên ta khẳng định phải có một tiếp tuyến có hệ số góc =0
Điều kiện cần : Giả sử từ $M(O;m)\in Oy$ kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) $\Rightarrow$ tồn tại 1 điểm $x_1$ sao cho
$y'(x_1)=0$
$\Leftrightarrow x_1=0 x_1=\pm \frac{\sqrt2}{2}$
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_0\in(C)$ : $y=(4x_0^3-4x_0)(x-x_0)+x_0^4-2x_0^2-1$ (1)
+) Với $x_0=0$ ta được phương trình tiếp tuyến y=-1
đt y=-1 đi qua M(0;m) nên m=-1
+) Với $x_0=\pm \frac{\sqrt2}{2}$ ta được phương trình tiếp tuyến $y=-\frac{7}{4}$
đt $y=-\frac{7}{4}$ đi qua M(0;m) nên $m=-\frac{7}{4}$
Điều kiện đủ Thay các tọa độ điểm M vào phương trình tiếp tuyến (1) xem có thỏa mãn phương trình có 3 nghiệm x_0 không (chỗ này mình thay nó ra phương trình bậc 4 làm sao để biết nó có mấy nghiệm nhỉ?)
Cách 2
Gọi đt đi qua M(0;m) có hệ số góc k có dạng $y=kx+m (d)$
(d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
$\left\{\begin{matrix} k=4x^3-4x \\ x^4-2x^2-1=kx+m \end{matrix}\right.$
thế k ta được pt: $3x^4-2x^3+m+1=0$ (1)
Đặt $x^2=t\Rightarrow 3t^2-2t+m+1=0$ (2)
Từ M ke được 3 tiếp tuyến đến (C) $\Rightarrow$ phương trình (2) có 2 nghiệm: 1 nghiêm bằng 0 và 1 nghiêm dương
$\Rightarrow m=-1$
Thay m=-1 vào (2) =>nghiệm t=> nghiệm x: $x=0; x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$
Với 3 nghiệm này ta được 3 tiếp tuyến phân biệt (thỏa mãn)
