Chủ đề này có 1 trả lời

[SOYA264]

Giải hệ phương trình sau:

 

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)(\sqrt{4y^2+1}+1)=8x^2y^3 & \\ x^2y-x+2=0 & \end{matrix}\right.$

[Tran Hoai Nghia]

Giải hệ phương trình sau:

 

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)(\sqrt{4y^2+1}+1)=8x^2y^3(1) & \\ x^2y-x+2=0 (2)& \end{matrix}\right.$

Xét (1), ta có:$(\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)(\sqrt{4y^2+1}+1)=8x^2y^3$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)((\sqrt{4y^2+1})^{2}-1^{2})=8x^2y^3(\sqrt{4y^2+1}-1)$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)4y^{2}=4y^{2}.2y.x^2(\sqrt{4y^2+1}-1)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}-3x^2y+2=2x^2y(\sqrt{4y^2+1}-1)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}+2=2x^2y(\sqrt{4y^2+1}-1)+3x^2y\Rightarrow y>0$

Xét tiếp (2), ta có:$y=\frac{x-2}{x^{2}}>0\Rightarrow x>2$

Tiếp tục biến đổi (1), ta có:

$\sqrt{x^2+1}+2-3x^2y=2x^2y(\sqrt{4y^2+1}-1)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}+2-x^2y=2x^2y\sqrt{4y^2+1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}+x-2x^2y=2x^2y\sqrt{4y^2+1}(2=x-x^{2}y)$

Chia 2 vế của phương trình cho $x^{2}$, ta có:

$\frac{1}{x} \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}+\frac{1}{x}-=2y\sqrt{(2y^{2})+1}+2y$

xét hàm số $f(t)=t\sqrt{t^{2}+1}+t (t>0)$.Dễ thấy hàm số này đồng biến, suy ra phương trình:

$f(\frac{1}{x})=f(2y)\Leftrightarrow \frac{1}{x}=2y$

Thay $\frac{1}{2x}=y$ vào (2) ta có:

$(2)\Leftrightarrow \frac{1}{2x}=\frac{x-2}{x^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{x-2}{x}\Leftrightarrow x=4\Rightarrow y=\frac{1}{8}$

Vaayj hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)=(4;\frac{1}{8})$.