2 replies to this topic

[phathuy]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=x+z. Biết $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=9\\ z^{2}+t^{2}=16\\ xt+yz\geq 12 \end{matrix}\right.$

[Hoang Tung 126]

Theo bđt Bunhiacopxki ta có :$144=12^2\leq (xt+yz)^2\leq (x^2+y^2)(z^2+t^2)=9.16=144$ $= >$ Đẳng thức xảy ra tại $xz=yt$.Ta có :$25=x^2+y^2+z^2+t^2=(x^2+2xy+y^2)+(z^2+t^2-2zt)$=$(x+z)^2+(y-t)^2$( Do xz=yt) nên $(x+z)^2\leq 25< = > \left | x+z \right |\leq 5< = > -5\leq x+z\leq 5$ nên x+z Max =5 khi $(x^2+y^2)=9, z^2+t^2=16 xt+yz=12,y=t,xz=yt$ (đến đây tự giải ra là xong)

[letankhang]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=x+z. Biết $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=9\\ z^{2}+t^{2}=16\\ xt+yz\geq 12 \end{matrix}\right.$

Theo giả thiết và áp dụng BĐT Bunhiacopski :

$144=(x^{2}+y^{2})(z^{2}+t^{2})\geq (xt+yz)^{2}\geq 144\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xt+yz=12 & \\ \frac{x}{t}=\frac{y}{z} & \end{matrix}\right.\Rightarrow xz=yt$

Mà :

$25=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=(x^{2}+z^{2})+(y^{2}+t^{2})\geq x^{2}+t^{2}+2yt=x^{2}+z^{2}+2xz=(x+z)^{2}\Rightarrow x+z\leq 5$

Vậy :

$MaxB=5\Leftrightarrow y=t=\frac{12}{5};x=\frac{9}{5};z=\frac{16}{5}$

Edited by letankhang, 24-09-2013 - 16:36.