Chủ đề này có 1 trả lời

[ocean99]

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn điều kiện a+2b+3c=1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiêm:

$4x^2-4(2a+1)x=4a^2+192abc+1=0 (1)$

$4x^2-4(2b+1)x+4b^2+96abc+1=0 (2)$

 

 

[Hoang Tung 126]

Xét $\Delta '(1)=(4a+2)^2-4(4a^2+192abc+1)=16.a(1-48bc),\Delta '(2)=(4b+2)^2-4(4b^2+96abc+1)=16b(1-24ac)= > \Delta '(1)+\Delta '(2)=16a(1-48bc)+16b(1-24ac)$

Ta có:$(1-48bc)+(1-24ac)=2-24c(a+2b)=2-24c(1-3c)=72c^2-24c+2=2(36c^2-12c+1)=2(6c-1)^2 $\geq 0$

$= >$ Trong 2 số 1-48bc,1-24ac thì Tồn tại ít nhất 1 biểu thức không âm .Giả sử :$1-48bc\geq 0$ 

Do $a\geq 0= > 16a\geq 0= > 16a(1-48bc)\geq 0= > \Delta '(1)\geq 0$ $= >$PT (1) có nghiệm (đpcm)