Chủ đề này có 5 trả lời

[Mrnhan]

Bài 1: Tìm $f^{(n)}(x)$ biết $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

 

Bài 2: Tìm các điểm gián đoạn của hàm số, xác định loại điểm gián đoạn:

$f(x)=\frac{1}{x}.\ln\frac{1+x}{1-x}$

 

MOD: Chú ý cách đặt tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-09-2013 - 16:53

[zarya]

Đây là cách làm của mình. Bạn có cách nào khác thì post lên nhé

Bài 1:

Có thể tách $\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1+ix}+\frac{1}{1-ix})$.

Sau đó tính các đạo hàm cấp $n$ của $\frac{1}{1+ix}$ và $\frac{1}{1-ix}$. Coi $i$ là một hằng số và $i^2=-1$

Có:

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1+ix})=\frac{(-1)^n.i^n.n!}{(1+ix)^{n+1}}$

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1-ix})=\frac{i^n.n!}{(1-ix)^{n+1}}$

 

Vậy nên:

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1+x^2})=\frac{1}{2}\frac{i^n.n!}{(1+x^2)^{n+1}}[(1+ix)^{n+1}+(-1)^n(1-ix)^{n+1}]$

 

//Đã test với một số đạo hàm cấp thấp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 28-09-2013 - 02:43

[Mrnhan]

Đây là cách làm của mình. Bạn có cách nào khác thì post lên nhé

Bài 1:

Có thể tách $\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1+ix}+\frac{1}{1-ix})$.

Sau đó tính các đạo hàm cấp $n$ của $\frac{1}{1+ix}$ và $\frac{1}{1-ix}$. Coi $i$ là một hằng số và $i^2=-1$

Có:

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1+ix})=\frac{(-1)^n.i^n.n!}{(1+ix)^{n+1}}$

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1-ix})=\frac{i^n.n!}{(1-ix)^{n+1}}$

 

Vậy nên:

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1+x^2})=\frac{1}{2}\frac{i^n.n!}{(1+x^2)^{n+1}}[(1+ix)^{n+1}+(-1)^n(1-ix)^{n+1}]$

 

//Đã test với một số đạo hàm cấp thấp

Bạn có thể rút gọn sao cho biểu thức cuối cùng không chứa $i$ được không, mà bạn nên đặt $1+x^2=x^2-i^2$ nhìn đơn giản hơn  

[zarya]

Khai triển ra rồi viết lại. Nhưng mình thấy gọn thì không gọn lắm

Với n chẵn, ta được:

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1+x^2})=\frac{(-1)^{\frac{n}{2}}n!}{(1+x^2)^{n+1}}\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}}(-1)^kC_{n+1}^{2k}x^{2k}$

 

Với n lẻ:

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1+x^2})=\frac{(-1)^{\frac{n+1}{2}}n!}{(1+x^2)^{n+1}}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^kC_{n+1}^{2k+1}x^{2k+1}$

[Mrnhan]

Khai triển ra rồi viết lại. Nhưng mình thấy gọn thì không gọn lắm

Với n chẵn, ta được:

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1+x^2})=\frac{(-1)^{\frac{n}{2}}n!}{(1+x^2)^{n+1}}\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}}(-1)^kC_{n+1}^{2k}x^{2k}$

 

Với n lẻ:

$\frac{d^n}{dx^n}(\frac{1}{1+x^2})=\frac{(-1)^{\frac{n+1}{2}}n!}{(1+x^2)^{n+1}}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^kC_{n+1}^{2k+1}x^{2k+1}$

Nói chung làm khi đi vào phòng thi mà như vậy thì rất tốt rồi! 

Chém tiếp bài đi

[zarya]

Bài số 2 có 3 điểm gián đoạn là: $x=-1$, $x=1$ và $x=0$. Trong đó $x=0$ là điểm gián đoạn khử được. 2 điểm còn lại là gián đoạn không khử được loại II.