Chủ đề này có 7 trả lời

[Gioi han]

Tìm giới hạn: $N=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}=\lim_{n\to +\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}$

[Mrnhan]

Ta có: 
C1:

$0<\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}=\prod_{k=1}^{n}[1-\frac{1}{2k}]<[\frac{\sum_{k=1}^{n}(1-\frac{1}{2k})}{n}]^n=[1-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}]^n$

$\to 0< \lim_{n\to +\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}<\lim_{n\to +\infty}[1-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}]^n=0$
 

Vì $1-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}<1$

$\Rightarrow N=0$

P/s: Mọi xem thử! Em thấy sai sai, nhưng khó giải thích?

C2:

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}.k)=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Đặt: $f(x)=\frac{1}{x(2x-1)}\to \int f(x)dx=\ln\frac{2x-1}{2x}+C$

Lấy $a=1, \: b=i \geq 1$

$\to \ln\frac{2i-2}{2i}-ln\frac{1}{2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k\:n^2}{(n+i-1)(n+2i-2)}=\frac{n^2}{(n+i-1)(n+2i-2)}$

Khi cho $i=\overline{1,n}$ rồi cộng lại ta sẽ có: 

$\ln\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}=\ln\frac{1}{2}+\sum_{i=1}^{n}\frac{n^2}{(n+i-1)(n+2i-2)}$

Mới nghĩ đến đó..!!

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 28-09-2013 - 13:22

[zarya]

Bạn nào thử chứng minh bất đẳng thức này nhé:

$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$

 

Mình linh cảm nó đúng nhưng giờ chưa chứng minh được. Nếu BĐT trên được chứng minh thì bài toán giải quyết dễ dàng.

[Mrnhan]

Bạn nào thử chứng minh bất đẳng thức này nhé:

$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$

 

Mình linh cảm nó đúng nhưng giờ chưa chứng minh được. Nếu BĐT trên được chứng minh thì bài toán giải quyết dễ dàng.

Mình nghĩ cái này mới đúng: $\prod_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{\sqrt{2n+2}}$

 

Thử chứng minh theo quy nạp thử:

$\prod_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{\sqrt{2n+2}}$

Khi $n=1$ thì $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2+2}}$ (luôn đúng)

Giả sử đúng với mọi $k=n$

Với $k=n+1$ thì $\prod_{i=1}^{n+1}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{\sqrt{2n+2}}\frac{2n+1}{2n+2}$

Ta cần chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{2n+2}}\frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{2n+4}}\Leftrightarrow (2n+1)\sqrt{n+2}<2(n+1)\sqrt{n+1}\Leftrightarrow 3n+2>0$ (luôn đúng)

Nên $\prod_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{\sqrt{2n+2}}$  $\fbox{đpcm}$

Vậy $\lim_{n\to +\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}=\lim_{n\to +\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=0$

Thế là bài toán được giải quyết!

P/s: Nhờ bạn xem bài trên của mình C1 đó, bạn thấy có ổn ko? Hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 28-09-2013 - 21:40

[zarya]

Vừa nãy đi vội quá. Trong quyển của Trần Đức Long thì thầy đưa ra BĐT: $\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$.

Cách 1 để mình xem tí nhé. Giờ thì no comment

 

----------------------

//Ps: Mọi người thử xem BĐT: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n}}$ có đúng không. Nếu đúng thì đóng góp lời chứng minh nhé 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 28-09-2013 - 23:49

[fghost]

Có lỗi ở bước $n=1$ của Mr. Nhan, nhưng không nghiêm trọng, có thể chữa bằng $n=2$ hay $\leq$ (BDT với $\leq$ cũng đồng thời cho kết quả). Bất đẳng thức của Mr. Nhan chặt hơn bất đẳng thức của Zarza rồi, không cần cm BDT của Zarza nữa (nhưng có thể áp dụng cách của Mr. Nhanh để chứng minh BDT đấy được)..

[phudinhgioihan]

Ta có: 
C1:

$0<\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}=\prod_{k=1}^{n}[1-\frac{1}{2k}]<[\frac{\sum_{k=1}^{n}(1-\frac{1}{2k})}{n}]^n=[1-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}]^n$

$\to 0< \lim_{n\to +\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}<\lim_{n\to +\infty}[1-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}]^n=0$
 

Vì $1-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}<1$

$\Rightarrow N=0$

P/s: Mọi xem thử! Em thấy sai sai, nhưng khó giải thích?

 

 

$\lim_{n\to +\infty}[1-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}]^n=0$

Vì $1-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}<1$

 

Hai dòng này sai. Nếu $\lim |u_n| \le p<1$ hoặc $|u_n| \le p<1$ thì khi đó mới có thể kết luận $\lim (u_n)^n=0$ được.

 

Ví dụ: $1-\dfrac{1}{n} <1 \;\;, \forall n \ge 1$ nhưng $\lim_{n \to +\infty} (1-\frac{1}{n} )^n=e^{-1}$

[hxthanh]

$\left[(2n-1)!!\right]^2=\left[1.3...(2n-1)\right]^2=1.(1.3).(3.5)...[(2n-3)(2n-1)].(2n-1)<1.2^2.4^2...(2n-2)^2(2n-1)$

suy ra:

 

$\left[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^2<\frac{2n-1}{(2n)^2}$

 

...