Chủ đề này có 3 trả lời

[TianaLoveEveryone]

1. CMR: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\geq 1$

 

2. Tìm Min:

 a. $f=\frac{(x+y+z)^3}{xyz}$ với x,y,z > 0

 b. $f=\frac{(x+y+z)^6}{xy^2z^3}$ với x,y,z > 0

 

3. Cho $a \geq 3$ , $b \geq 4$ , $c \geq 2$

Tìm Max:

$f=\frac{ab\sqrt{c-a}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}$

 

[letankhang]

 

 

 

3. Cho $a \geq 3$ , $b \geq 4$ , $c \geq 2$

Tìm Max:

$f=\frac{ab\sqrt{c-a}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}

Bài 3 :

Bài này hình như bạn ghi nhầm rồi; phải là : $c-2$

$gt\Rightarrow f=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$c-2+2\geq 2\sqrt{2(c-2)}\Rightarrow \frac{\sqrt{c-2}}{c}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$a-3+3\geq 2\sqrt{3(a-3)}\geq \frac{\sqrt{a-3}}{a}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}$

$b-4+4\geq 2\sqrt{4(b-4)}\Rightarrow \frac{\sqrt{b-4}}{b}\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow f\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}$

$Maxf=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+3}{12}\Leftrightarrow c=4;a=6;b=8$

[Hoang Tung 126]

Bài 2:

(a): Áp dụng bdt cosi cho 3 số ta có :$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}= > (x+y+z)^3\geq 27xyz= > A=\frac{(x+y+z)^3}{xyz}\geq \frac{27xyz}{xyz}=27$ nên A Min=27 khi x=y=z

(b):Theo bdt cosi cho 6 số ta có :$x+y+z=x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}+\frac{z}{3}+\frac{z}{3}\geq 6\sqrt[6]{\frac{xy^2z^3}{108}}= > (x+y+z)^6\geq 6^6.\frac{xy^2z^3}{108}=432xy^2z^3= > \frac{(x+y+z)^6}{xy^2z^3}\geq \frac{432xy^2z^3}{xy^2z^3}=432$ 

nên B Min=432 khi x=$\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$

[Hoang Tung 126]

Bài 1:phải là CM :$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$ chứ nhỉ

 $< = > \frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq 1$.Theo bđt cosi ta có : $\frac{\sqrt{a-1}}{a}=\frac{\sqrt{(a-1).1}}{a}\leq \frac{a-1+1}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$ .Tương tự :$\frac{\sqrt{b-1}}{b}\leq \frac{1}{2}$ .Cộng theo vế các bdt

 $= > \frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-1}}{b}\leq 1$(đpcm)