Chủ đề này có 1 trả lời

[holmes2013]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $\left ( O;R \right )$ có trọng tâm G. $BC=a, AC=b,AB=c$. Chứng minh: $GA + GB + GC \geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3R}$

[Juliel]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $\left ( O;R \right )$ có trọng tâm G. $BC=a, AC=b,AB=c$. Chứng minh: $GA + GB + GC \geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3R}$

Bổ đề 1 : Hệ thức $Leibniz$ : $GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}=\frac{1}{3}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

Chứng minh có thể dựa vào công thức tính trung tuyến $m_{a}^{2}=\frac{1}{4}\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )$ và chú ý rằng $GA=\frac{2}{3}m_{a}$

Bổ đề 2 : Với mọi điểm $M$ ta luôn có : $MA.GA+MB.GB+MC.GC\geq GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$

Chứng minh :

Ta có : $MA.GA+MB.GB+MC.GC\geq \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{GC}=\left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right )\overrightarrow{GA}+\left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right )\overrightarrow{GB}+\left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right )\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{MG}\left ( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right )+GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$

Bổ đề 2 được chứng minh 

Quay trở lại bài toán :

Áp dụng bổ đề 2 và cho $M$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC$ :

$$OA.GA+OB.GB+OC.GC\geq GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}=\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Leftrightarrow GA+GB+GC\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3R}$$

Đẳng thức xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-09-2013 - 09:52