Chủ đề này có 3 trả lời

[Forgive Yourself]

Cho đa giác lồi $A_1A_2A_3.....A_n$. Gọi $G$ là trọng tâm của đa giác. Chưng minh rằng: $\overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GA_2}+...+\overrightarrow{GA_n}=\overrightarrow{0}$

[Anh Uyen Linh]

Cho đa giác lồi $A_1A_2A_3.....A_n$. Gọi $G$ là trọng tâm của đa giác. Chưng minh rằng: $\overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GA_2}+...+\overrightarrow{GA_n}=\overrightarrow{0}$

                                         Giải

Nếu xoay đa giác 1 góc $\frac{2}{n}\pi$ thuận chiều kim đồng hồ thì các đỉnh đa giác sẽ được đổi chỗ cho nhau

Đặt $\underset{v}{\rightarrow}=\underset{GA_{1}}{\rightarrow}+...+\underset{GA_{N}}{\rightarrow}$

Gọi$\underset{v'}{\rightarrow}$ là vecto thu được sau phép quay

Ta có:$\underset{v'}{\rightarrow}$=$\underset{v}{\rightarrow}$

   Mặt khác do đa giác quay 1 góc $\frac{2}{n}\pi$

 

=> $\underset{v'}{\rightarrow}$=$\underset{v}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$

=> dpcm

     Ngoài ra bạn vẫn có thể chứng minh khi xét n=2k và n=2k+1 trong đa giác bất kì nhưng hơi dài nên tớ xét với đa giác đều cho nhanh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Uyen Linh: 03-10-2013 - 22:06

[Forgive Yourself]

                                         Giải

Nếu xoay đa giác 1 góc $\frac{2}{n}\pi$ thuận chiều kim đồng hồ thì các đỉnh đa giác sẽ được đổi chỗ cho nhau

Đặt $\underset{v}{\rightarrow}=\underset{GA_{1}}{\rightarrow}+...+\underset{GA_{N}}{\rightarrow}$

Gọi$\underset{v'}{\rightarrow}$ là vecto thu được sau phép quay

Ta có:$\underset{v'}{\rightarrow}$=$\underset{v}{\rightarrow}$

   Mặt khác do đa giác quay 1 góc $\frac{2}{n}\pi$

 

=> $\underset{v'}{\rightarrow}$=$\underset{v}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$

=> dpcm

     Ngoài ra bạn vẫn có thể chứng minh khi xét n=2k và n=2k+1 trong đa giác bất kì nhưng hơi dài nên tớ xét với đa giác đều cho nhanh

 

Bạn có thể giúp mình với đa giác bất kì luôn không?

[humugosour]

gọi $\underset{v}{\rightarrow}$ là tổng của n vectơ trên
do đa giác đều đã cho có n trục đối xứng, t chọn trục đối xứng bất kỳ
+) nếu n $\vdots$ 2 thì ta có 2 vectơ nằm trên trục đối xứng đã chọn và $\frac{n-1}{2}$ cặp vectơ khác có tổng là vectơ mới trùng với trục đối xứng đã chọn
suy ra vectơ tổng $\underset{v}{\rightarrow}$ nằm trên trục đối xứng đã chọn
tương tự với n-1 trục đối xứng còn lại thì $\underset{v}{\rightarrow}$ có n phương khác nhau, suy ra $\underset{v}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$
+) nếu n lẻ thì cũng tương tự ta chứng minh $\underset{v}{\rightarrow}$ có n phương nên $\underset{v}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$