Chủ đề này có 2 trả lời

[E. Galois]

Ngày 1:

Bài 1:

Tìm giá trị lớn nhất của $m$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $a,b,c$ khác $0$ thỏa mãn $\left |\frac{1}{a}  \right |+\left | \frac{1}{b} \right |+\left |\frac{1}{c}  \right |\leq \frac{1}{3}$ 

$$(a^2+4(b^2+c^2))(b^2+4(c^2+a^2))(c^2+4(a^2+b^2))\geq m$$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 2:

Giải phương trình nghiệm nguyên:

$$x^4y^3(y-x)=x^3y^4-216$$

Bài 3:

Chúng ta gọi hình thang cân $PQRS$ là hình thang thú vị nếu nó nội tiếp hình vuông $ABCD$ sao cho mỗi đỉnh của hình thang nằm trên 1 cạnh của hình vuông, và đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh kề của hình thang song song với đường chéo của hình vuông

Tìm tất cả các hình thang cân thú vị và tính diện tích của chúng

Ngày 2:

Bài 4: Cho dãy số thực $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$. Gọi $m_{i}$ là trung bình cộng của các số $a_{1}, a_{2},..., a_{i}$. Chứng minh rằng nếu tồn tại số $C$ sao cho 

$$(i-j).m_{k}+(j-k).m_{i}+(k-i).m_{j}=C$$

với mọi bộ ba số nguyên dương phân biệt $(i, j, k)$ thì dãy $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ là dãy cấp số cộng.

Bài 5:

Giả sử $N$ là tập các số tự nhiên $n< 10^6$ thỏa mãn với mọi $n\in N$, tồn tại $1\leq k\leq 43$ sao cho $n^k\vdots 2012$. Tìm số phần tử của tập $N$

Bài 6:

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $2$. Xét các tam giác đều $PQR$ có cạnh bằng $1$ có $P$ nằm trên $AB$, $Q$ nằm trên $AC$ và $R$ nằm bên trong hoặc trên cạnh của tam giác $ABC$

Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác $PQR$

 

 

[Zaraki]

Bài 2:Giải phương trình nghiệm nguyên:

$$x^4y^3(y-x)=x^3y^4-216$$

Lời giải. Phương trình tương đương $x^3y^3(y-xy+x^2)=216=6^3$.

Vì $x,y \in \mathbb{Z}$ nên ta suy ra $(xy)^3|6^3$ nên $xy|6$. Ta suy ra $xy \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \}$.

Dễ dàng thử thì thấy $\boxed{(x,y)=(2,3),(-3,-2)}$.

[bangbang1412]

 

 

Ngày 1:

Bài 1:

Tìm giá trị lớn nhất của $m$ để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $a,b,c$ khác $0$ thỏa mãn $\left |\frac{1}{a}  \right |+\left | \frac{1}{b} \right |+\left |\frac{1}{c}  \right |\leq \frac{1}{3}$ 

$$(a^2+4(b^2+c^2))(b^2+4(c^2+a^2))(c^2+4(a^2+b^2))\geq m$$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 5:

Giả sử $N$ là tập các số tự nhiên $n< 10^6$ thỏa mãn với mọi $n\in N$, tồn tại $1\leq k\leq 43$ sao cho $n^k\vdots 2012$. Tìm số phần tử của tập $N$

 

Bài $5$ , nhận thấy $n$ phải là bội của $1006$ vì $2012=2.2.503$

Rõ ràng $2$ và $503$ nguyên tố nên $n$ phải là một bội của $1006$

Chọn $k\geq 2$ là đủ thỏa mãn với mọi $n$ , nên số phần tử của nó phải là số các bội của $1006$ trong khoảng $(1006,10^{6}-1)$

  ơ , thế này có lộn đề hay gì không nhỉ , hình như ra $994$

Bài $1$ , chọn $a=b=c>0$ ta có $a\geq 9$ 

Cho đẳng thức điều kiện xảy ra , tức là $a=b=c=9$

Ta có bất đẳng thức $(9a^{2})^{3}\geq m$

Cho $a=9$ và cho đẳng thức xảy ra , tức là $m=9^{9}$

Ở đây chỉ cần chứng minh với $a,b,c>0$ là đủ nên $\sum \frac{1}{a}\leq \frac{1}{3}$

Và chứng minh $\prod (a^{2}+4(b^{2}+c^{2}))\geq (\sqrt[3]{(abc)^{2}}+4\sqrt[3]{\prod (b^{2}+c^{2})})^{3}\geq (81+4.162)^{3}=729^{3}=9^{9}$

Ở đây theo giả thiết thì $abc\geq 3(ab+bc+ac)\geq 9(abc)^{\frac{2}{3}}$ nên $abc\geq 729$

Vậy $m=9^{9}$ là giá trị tốt nhất

Với bài $6$ ta thấy nếu gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì tứ giác $APGQ$ là tứ giác nội tiếp .

Do đó theo tính chất góc nội tiếp thì $AG$ phải là phân giác góc $A$.

Ta lại có nhận xét .

Khi $Q$ di chuyển đến $C$ thì $P$ phải di chuyển đến $A$ , và $Q$ nằm trong hình tròn tâm $P$ bán kinh $1$ 

 Xong kết luận quỹ tích là nằm trên phân giác góc $A$ và không vượt quá $I$ là trọng tâm $ABC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-10-2013 - 20:51